Để chứng minh rằng \( 35^{13} - 35^{12} \) chia hết cho \( 70 \), trước tiên ta có thể đơn giản hóa biểu thức này:

\[
35^{13} - 35^{12} = 35^{12}(35 - 1) = 35^{12} \cdot 34
\]

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \( 35^{12} \cdot 34 \) chia hết cho \( 70 \). Ta biết rằng \( 70 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \).

**Bước 1: Chứng minh chia hết cho 2**

Số \( 34 \) là một số chẵn, do đó \( 34 \) chia hết cho \( 2 \).

**Bước 2: Chứng minh chia hết cho 5**

Số \( 35 \) chia hết cho \( 5 \) (vì \( 35 = 5 \cdot 7 \)). Do đó, mọi lũy thừa của \( 35 \) (bao gồm \( 35^{12} \)) cũng chia hết cho \( 5 \).

**Bước 3: Chứng minh chia hết cho 7**

Tương tự, số \( 35 \) cũng chia hết cho \( 7 \) (vì \( 35 = 5 \cdot 7 \)). Do đó, mọi lũy thừa của \( 35 \) cũng sẽ chia hết cho \( 7 \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

- \( 35^{12} \cdot 34 \) chia hết cho \( 2 \).
- \( 35^{12} \cdot 34 \) chia hết cho \( 5 \).
- \( 35^{12} \cdot 34 \) chia hết cho \( 7 \).

Kết luận rằng \( 35^{12} \cdot 34 \) chia hết cho \( 70 \):

\[
\Rightarrow 35^{13} - 35^{12} \text{ chia hết cho } 70.
\]

Vậy ta có thể khẳng định rằng \( 35^{13} - 35^{12} \) chia hết cho \( 70 \).