Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S, G lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, CD, AC, BD, AD, BC, MN

Để giải bài tập này, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tứ diện và các trung điểm.

1. **a)** Để chứng minh \( MR = SN \):
- Xét tam giác \( ABC \) và \( D \). Gọi \( M \) và \( R \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) tương ứng. Do đó, vector \( MR \) và vector \( SN \) có độ dài bằng nhau do \( M \) và \( R \) đều là trung điểm.

2. **b)** Chứng minh \( GA + GB + GC + GD = 0 \):
- Ở đây, \( A, B, C, D \) là các điểm trong không gian. Theo định nghĩa của vectơ trọng tâm, ta có thể viết:
\[
GA + GB + GC + GD = 0
\]
- Điều này đã được thiết lập bởi các vectơ từ điểm \( G \) đến các đỉnh của tứ diện.

3. **c)** Chứng minh \( 2PQ = AB + AC + AD \):
- \( P \) là trung điểm của \( AC \) và \( Q \) là trung điểm của \( BD \). Vì vậy, tỉ lệ của đoạn thẳng nối hai trung điểm này bằng một nửa tổng các cạnh liên quan.

4. **d)** Để chứng minh \( |IA| + |IB| + |IC| + |ID| \) nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm \( I \) trùng với điểm \( G \):
- Đây là một kết luận cơ bản từ lý thuyết tối ưu hóa trong hình học. Tương tự như điểm trọng tâm của một tứ diện, nó sẽ tối ưu hóa tổng độ dài vectơ từ điểm \( G \) đến các đỉnh.

Bạn cần kiểm tra lại các công thức vectơ và các định nghĩa trong không gian để có thể hoàn chỉnh bài tập này. Nếu cần thêm thông tin chi tiết về từng phần, hãy cho tôi biết!