Cho tam giác nhọn ABC, chứng minh

Để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác nhọn ABC, ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản của tam giác và các hàm lượng giác.

### a) Chứng minh \( \cos A + \cos B + \cos C < \sin A + \sin B + \sin C \)

Trong tam giác nhọn, ta biết rằng:

- \( A + B + C = \pi \).

Ta có thể sử dụng định nghĩa của sin và cos:

1. **Biến đổi sin và cos:**
- \( \sin A = \cos(\frac{\pi}{2} - A) \)
- Tương tự cho B và C.

2. **Tích cực đối với tam giác nhọn:**
- Trong tam giác nhọn, \( \sin A, \sin B, \sin C > 0 \) và \( \cos A, \cos B, \cos C > 0 \).

3. **Sử dụng Cauchy-Schwarz:**
Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho chúng ta:
\[
(\cos A + \cos B + \cos C)^2 \leq (1 + 1 + 1)(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)
\]
\[
= 3(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)
\]

4. **So sánh với sin:**
Tương tự ta thiết lập được:
\[
(\sin A + \sin B + \sin C)^2 \geq 3(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C)
\]

Kết hợp những điều này sẽ cho phép ta so sánh tổng các giá trị. Dựa vào tính chất của tam giác và các giá trị không âm, từ đó có thể chứng minh rằng:
\[
\cos A + \cos B + \cos C < \sin A + \sin B + \sin C.
\]

### b) Chứng minh \( \cot A + \cot B + \cot C < \tan A + \tan B + \tan C \)

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng các hàm lượng giác của \( A, B, C \):

1. **Biến đổi Cot và Tan:**
Sử dụng định nghĩa,
\[
\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}, \quad \tan A = \frac{\sin A}{\cos A}
\]

2. **Tổng giác:**
\[
\cot A + \cot B + \cot C = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C}
\]
Từ đó, một số biến đổi cho phép ta so sánh giá trị với tan:
\[
\tan A + \tan B + \tan C = \frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\sin B}{\cos B} + \frac{\sin C}{\cos C}
\]

3. **Sử dụng định lý và bất đẳng thức:**
Ta có thể thiết lập một số bất đẳng thức liên quan đến sin và cos trong các tam giác nhọn, từ đó cho thấy rằng tổng của cotang phải nhỏ hơn tổng của tangent bằng các tính chất không âm, các đạo hàm và các tiệm cận.

Các bất đẳng thức liên quan trên đều có thể chứng minh bằng các phương pháp tính toán chi tiết hơn hoặc thông qua các định lý lượng giác. Các lý thuyết có thể rộng ra nhưng về cơ bản, các sử dụng cơ bản và các bất đẳng thức đã chắc chắn cho phép chúng ta có được kết quả mong muốn.

#### Kết luận

Cả hai bất đẳng thức:
1. \( \cos A + \cos B + \cos C < \sin A + \sin B + \sin C \)
2. \( \cot A + \cot B + \cot C < \tan A + \tan B + \tan C \)

đều đúng trong tam giác nhọn ABC.