Để biểu diễn đoạn thẳng \( B'C \) trong hình lăng trụ \( ABC.A'B'C' \), ta có thể sử dụng các vectơ đã cho.

1. **Đặt vectơ**:
- \( \vec{A}A' = \vec{c} \)
- \( \vec{A}B = \vec{b} \)
- \( \vec{A}C = \vec{c} \)

2. **Biểu diễn điểm \( B' \)**:
- \( B' = A' + \vec{A}B = \vec{c} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{c} \)

3. **Biểu diễn điểm \( C \)**:
- \( C = A + \vec{A}C = \vec{a} + \vec{c} = \vec{a} + \vec{c} \)

4. **Cho đoạn thẳng \( B'C \)**:
- \( B'C = C - B' \)

Từ đây, ta có thể viết:
\[
B'C = (A + b + c) - (b + c) = A
\]

5. **Tìm \( m + n + p \)**:
- Ta cần tìm các hệ số tương ứng khi biểu diễn \( B'C \).
- Dựa vào cách biểu diễn, \( B'C \) tương ứng với vectơ đến từ:
- \( m \) tương ứng với vectơ \( A \)
- \( n \) là hệ số của vectơ \( \vec{b} \)
- \( p \) là hệ số của vectơ \( \vec{c} \)

Vậy ta có \( m + n + p = 1 \) (vì đoạn \( B'C \) là một vectơ đơn vị, không cộng thêm vectơ nào khác).

**Kết luận**: \( m + n + p = 1 \).