Dựa vào phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh, tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đẳng thức

Để chứng minh các đẳng thức trong bài, ta sẽ sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử cho từng trường hợp.

### a) \( 55^{n+1} - 55^n \equiv 4 \) với \( n \in \mathbb{Z} \)

Ta có thể phân tích như sau:
\[
55^{n+1} - 55^n = 55^n(55 - 1) = 55^n \cdot 54
\]
Vậy ta cần tìm \( n \) sao cho \( 55^n \cdot 54 \equiv 4 \). Do \( 54 \) chia hết cho \( 2 \), nên \( 55^n \) cũng cần phải có dạng phù hợp.

### b) \( 5^6 - 10^4 \equiv 2 \)

Ta phân tích như sau:
\[
10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4 = 16 \cdot 625 = 10000
\]
Vì vậy:
\[
5^6 - 10^4 = 15625 - 10000 = 5625
\]
Rõ ràng, \( 5625 \equiv 2 \).

### c) \( 24^{n+1} - 24^n \cdot 2^3 \equiv 3 \) với \( n \in \mathbb{Z} \)

Ta có thể phân tích như sau:
\[
24^{n+1} - 24^n \cdot 8 = 24^n(24 - 8) = 24^n \cdot 16
\]
Vậy ta cần tìm \( n \) sao cho \( 24^n \cdot 16 \equiv 3 \).

### d) \( n^2(n-1) - 2n(n-1) \equiv 3 \) với \( n \in \mathbb{Z} \)

Ta có thể viết lại thành:
\[
n^2(n-1) - 2n(n-1) = (n^2 - 2n)(n-1) = n(n-2)(n-1)
\]
Yêu cầu là \( n(n-2)(n-1) \equiv 3 \).

### Tổng kết

Mỗi bài toán yêu cầu tìm các số nguyên \( n \) cụ thể để thỏa mãn các đẳng thức đã phân tích. Nếu có lý tưởng cụ thể cho từng trường hợp, cần thực hiện thử nghiệm cho các giá trị nguyên của \( n \) để tìm ra các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn.