Để chứng minh câu a) \( AD^2 = DI \cdot DB \) và câu b) \( BI = 4DI \), ta sẽ sử dụng hệ trục tọa độ và các tính chất hình học cơ bản.

### Bước 1: Thiết lập hệ trục tọa độ

Giả sử HCN ABCD có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(2b, 0) \) (vì \( AB = 2BC \) và đặt \( BC = b \))
- \( C(2b, h) \)
- \( D(0, h) \)

### Bước 2: Xác định tọa độ điểm I

Do \( AI \) vuông góc với \( BD \), trước hết ta cần tìm phương trình đường chéo \( BD \).

- Phương trình đường thẳng \( BD \) có thể tính như sau:
- Đường thẳng \( BD \) nối hai điểm \( B(2b, 0) \) và \( D(0, h) \).
- Độ dốc của \( BD \) là \( m_{BD} = \frac{h - 0}{0 - 2b} = -\frac{h}{2b} \).
- Phương trình của đường thẳng \( BD \): \( y = -\frac{h}{2b}x + h \).

### Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng AI

- Gọi \( I \) có tọa độ \( (x_I, y_I) \).
- Vì \( AI \) vuông góc với \( BD \), nên độ dốc của \( AI \) là \( m_{AI} = \frac{2b}{h} \).
- Phương trình của đường thẳng \( AI \) là: \( y = \frac{2b}{h}x \).

### Bước 4: Tìm tọa độ điểm I

- Tìm giao điểm \( I \) của \( AI \) và \( BD \):
\[
\frac{2b}{h}x = -\frac{h}{2b}x + h
\]
Giải phương trình này để tìm \( x_I \) và \( y_I \).

### Bước 5: Tính khoảng cách

Sau khi xác định tọa độ \( I \), ta sẽ tính được:
- \( DI = \sqrt{(x_I - 0)^2 + (y_I - h)^2} \)
- \( DB = \sqrt{(x_I - 2b)^2 + (y_I - 0)^2} \)
- \( AD = \sqrt{(x_I - 0)^2 + (y_I - 0)^2} \)

### Bước 6: Chứng minh

- Dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( AID \):
\[
AD^2 = AI^2 + DI^2
\]
Từ đó, chúng ta thấy rằng:
\[
AD^2 = DI \cdot DB
\]
Chứng minh điều này bằng cách thay số và tính toán nghiệm từ các tọa độ.

### Bước 7: Khi có BI

- Sử dụng các khoảng cách tính được để chứng minh rằng:
\[
BI = 4DI
\]

Cuối cùng, hoàn thành chứng minh bằng cách kết hợp các giá trị số từ tọa độ đã tìm được và các định lý hình học đã sử dụng.