Để giải quyết các câu hỏi trên về tứ giác ABDE trong hình thoi ABCD, ta cần sử dụng các tính chất của hình thoi và hình học phẳng.

### 1) Tứ giác ABDE là hình gì?

Chúng ta có tứ giác ABDE với:
- \( AB \) là cạnh của hình thoi.
- \( AD \) là cạnh của hình thoi.
- \( BH \) vuông góc với \( AD \) và \( HE = HB \).

Vì \( AB = AD \) và \( BH = HE \), đồng thời \( BH \) vuông góc với \( AD \), tứ giác ABDE có 2 cạnh song song (AB // DE) và 2 cạnh còn lại (AD // BE).

Vậy tứ giác ABDE là một **hình bình hành**.

### 2) Chứng minh D là trung điểm CE.

Ta có:
- Vẽ đường chéo \( CE \) trong tứ giác ABDE.
- \( BH = HE \), tức là độ dài của đoạn thẳng \( HB = HE \).

Do \( H \) là chân đường vuông góc từ \( B \) xuống \( AD \) và \( AB = AD \), \( D \) sẽ nằm chính giữa \( CE \) do tính đối xứng của hình thoi.

Chúng ta có:
- Từ \( B \) đến \( D \) là một đường chéo, và bởi tính đối xứng của hình thoi, \( D \) sẽ chia đường chéo \( CE \) thành hai đoạn thẳng bằng nhau.

Vậy, \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( CE \).

### 3) Chứng minh \( AC = BE \).

Trong hình thoi, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm và chia mỗi đường chéo thành hai đoạn thẳng bằng nhau. Với hình thoi ABCD, ta có:
- Đường chéo \( AC \) chia thành hai đoạn \( AO = OC \).
- Đường chéo \( BD \) chia thành hai đoạn \( BO = OD \).

Như đã chứng minh ở phần 2, vì \( D \) là trung điểm của \( CE \), tứ giác ABDE lại tạo ra một hình bình hành với \( AB = DE \) và \( AD = BE \).

Do đó, từ tính chất của các đoạn thẳng trong hình bình hành, ta có:
- \( AC = BE \).

Tóm lại:
1. Tứ giác ABDE là hình bình hành.
2. D là trung điểm của CE.
3. AC = BE.