Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số học sinh \( N \) thỏa mãn các điều kiện sau:

1. \( 200 \leq N \leq 300 \)
2. \( N \equiv 1 \mod 4 \)
3. \( N \equiv 1 \mod 5 \)
4. \( N \equiv 1 \mod 7 \)

Các điều kiện trên có thể được gộp lại thành một điều kiện duy nhất, vì \( N \equiv 1 \) với cả 4, 5 và 7.

Tổng hợp lại, ta có:

\[
N \equiv 1 \mod \text{lcm}(4, 5, 7)
\]

Tính \( \text{lcm}(4, 5, 7) \):
- \( 4 = 2^2 \)
- \( 5 = 5^1 \)
- \( 7 = 7^1 \)

Vậy,
\[
\text{lcm}(4, 5, 7) = 2^2 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 5 \times 7 = 140
\]

Nên điều kiện chúng ta cần tìm là:

\[
N \equiv 1 \mod 140
\]

Như vậy, ta có:

\[
N = 140k + 1
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Bây giờ, để thỏa mãn điều kiện \( 200 \leq N \leq 300 \):

\[
200 \leq 140k + 1 \leq 300
\]

Bắt đầu với bất phương trình bên trái:

\[
200 \leq 140k + 1 \implies 199 \leq 140k \implies k \geq \frac{199}{140} \approx 1.4257 \implies k \geq 2
\]

Và với bất phương trình bên phải:

\[
140k + 1 \leq 300 \implies 140k \leq 299 \implies k \leq \frac{298}{140} \approx 2.1286 \implies k \leq 2
\]

Suy ra, \( k = 2 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện. Thay \( k = 2 \) vào biểu thức:

\[
N = 140 \times 2 + 1 = 280 + 1 = 281
\]

Cuối cùng, kiểm tra các điều kiện với \( N = 281 \):

1. \( 281 \equiv 1 \mod 4 \) (281 = 4×70 + 1)
2. \( 281 \equiv 1 \mod 5 \) (281 = 5×56 + 1)
3. \( 281 \equiv 1 \mod 7 \) (281 = 7×40 + 1)

Tất cả đều đúng.

Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là:

\[
\boxed{281}
\]