Để giải phương trình nghiệm nguyên \( x^2 - y^2 - x + 2y = 1 \), ta có thể biến đổi nó như sau:

1. Viết lại phương trình:
\[
x^2 - y^2 - x + 2y - 1 = 0
\]
Ta có thể nhóm lại các hạng tử:
\[
x^2 - x - (y^2 - 2y + 1) = 0
\]
Nhận thấy rằng \( y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 \):
\[
x^2 - x - (y - 1)^2 = 0
\]

2. Đặt \( z = y - 1 \), ta có:
\[
x^2 - x - z^2 = 0
\]

3. Phương trình này là một phương trình bậc hai theo \( x \). Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = -1 \), và \( c = -z^2 \):
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4z^2}}{2}
\]

4. Để \( x \) là số nguyên, thì \( 1 + 4z^2 \) phải là một số chính phương. Giả sử \( 1 + 4z^2 = k^2 \) cho một số nguyên \( k \). Ta có:
\[
k^2 - 4z^2 = 1
\]
Phương trình này là phương trình Pell.

5. Phương trình Pell có dạng:
\[
k^2 - 4z^2 = 1 \implies (k - 2z)(k + 2z) = 1
\]

6. Các nghiệm nguyên của phương trình Pell tương ứng với \( z = 0 \) và \( z = 1 \):
- Khi \( z = 0 \): \( y = 1 \), ta có \( x = \frac{1 \pm 1}{2} \) dẫn đến các nghiệm \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \).
- Khi \( z = 1 \): \( y = 2 \), ta có \( x = \frac{1 \pm 3}{2} \), dẫn đến nghiệm \( x = 2 \) hoặc \( x = -1 \).

7. Tổng hợp lại nghiệm:
- \( (x, y) = (0, 1), (1, 1), (2, 2), (-1, 2) \)

Kết luận, các nghiệm nguyên của phương trình là:
\[
(x, y) = (0, 1), (1, 1), (2, 2), (-1, 2)
\]