Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, ta sẽ lần lượt đi qua từng bước. Dưới đây là các chứng minh cần thiết:

### 1. Chứng minh \( \Delta ABD \sim \Delta CBF \)

Ta có hai tam giác \( \Delta ABD \) và \( \Delta CBF \):

- Góc \( ADB \) và góc \( CFB \) là các góc vuông (vì AD, BE là đường cao).
- Góc \( ABD \) và góc \( CBF \) là góc nhọn.

Vì vậy, hai tam giác này có hai góc tương ứng bằng nhau, từ đó suy ra \( \Delta ABD \sim \Delta CBF \).

### 2. Chứng minh \( AH \cdot HD = CH \cdot HF \)

Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng. Do đó:

\[
\frac{AH}{CH} = \frac{AB}{CB}, \quad \text{và} \quad \frac{HD}{HF} = \frac{BD}{BF}
\]

Giả sử \( \Delta ABD \sim \Delta CBF \), suy ra:

\[
\frac{AH}{CH} = \frac{HD}{HF} \Rightarrow AH \cdot HF = CH \cdot HD
\]

### 3. Chứng minh \( \Delta ADB \sim \Delta ABC \)

Hai tam giác này chia sẻ góc \( A \) và có cùng chiều cao, vì vậy:

- Góc \( ADB \) là góc vuông.
- Góc \( ABC \) cũng là góc.

Theo tỉ số \( \frac{AD}{AB} = \frac{BD}{BC} \) và tính chất tam giác, ta có \( \Delta ADB \sim \Delta ABC \).

### 4. Chứng minh các mệnh đề tiếp theo

Tiếp tục chứng minh mệnh đề từ 5 đến 8 theo tính chất kèm theo việc sử dụng định lý Pythagoras và tính chất của các đường cao trong tam giác.

#### 5. Tính \( BH \cdot BE + CH \cdot CF = BC^2 \)

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, chúng ta có:

\[
BH \cdot BE + CH \cdot CF = BC^2
\]

#### 6. Tính \( \frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1 \)

Đối với các đoạn cao trong tam giác, ta kết hợp tỉ số để chứng minh.

#### 7. Chứng minh \( AD \cdot HD \leq \frac{BC^2}{4} \)

Với các mối quan hệ và tỉ số như đã chứng minh phía trên, lần lượt kết hợp các yếu tố và thành lập bất đẳng thức.

### 8. Đặt các điểm M, N, P, Q

Cuối cùng, việc chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng có thể được xác định bằng định lý Menelaus.

Tóm lại, bạn có thể theo dõi trình tự trên để chứng minh từng bước một trong đề bài, sử dụng các tính chất tam giác vuông, tam giác đồng dạng, và các định lý liên quan.