Để rút gọn biểu thức

\[
\frac{5^4 \cdot 20^4}{25^5 \cdot 4^5}
\]

chúng ta bắt đầu bằng cách phân tích các số:

- \(20 = 5 \cdot 4\) nên \(20^4 = (5 \cdot 4)^4 = 5^4 \cdot 4^4\).
- \(25 = 5^2\) nên \(25^5 = (5^2)^5 = 5^{10}\).
- \(4^5\) không cần phân tích thêm.

Thay thế vào biểu thức, ta được:

\[
\frac{5^4 \cdot (5^4 \cdot 4^4)}{5^{10} \cdot 4^5}
\]

Biểu thức trở thành:

\[
\frac{5^{4+4} \cdot 4^4}{5^{10} \cdot 4^5} = \frac{5^8 \cdot 4^4}{5^{10} \cdot 4^5}
\]

Rút gọn:

\[
= \frac{5^8}{5^{10}} \cdot \frac{4^4}{4^5} = 5^{8-10} \cdot 4^{4-5} = 5^{-2} \cdot 4^{-1}
\]

Kết quả cuối cùng:

\[
= \frac{1}{5^2 \cdot 4} = \frac{1}{25 \cdot 4} = \frac{1}{100}
\]

Vậy, biểu thức rút gọn là:

\[
\frac{1}{100}
\]