Để chứng minh rằng \( \sqrt{11} \) là số vô tỉ, ta sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử rằng \( \sqrt{11} \) là một số hữu tỉ. Theo định nghĩa, điều này có thể viết dưới dạng:

\[
\sqrt{11} = \frac{a}{b}
\]

với \( a \) và \( b \) là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau (tức là ước số chung lớn nhất của \( a \) và \( b \) là 1) và \( b \neq 0 \).

Bình phương cả hai vế, ta có:

\[
11 = \frac{a^2}{b^2}
\]

Suy ra:

\[
a^2 = 11b^2
\]

Điều này cho thấy \( a^2 \) phải chia hết cho 11. Theo tính chất của các số nguyên, nếu \( a^2 \) chia hết cho 11 thì \( a \) cũng phải chia hết cho 11 (do 11 là số nguyên tố). Ta có thể viết:

\[
a = 11k
\]

với \( k \) là một số nguyên. Thay \( a \) vào phương trình:

\[
a^2 = (11k)^2 = 121k^2
\]

Thay vào \( 11b^2 \):

\[
121k^2 = 11b^2
\]

Chia cả hai vế cho 11, ta có:

\[
11k^2 = b^2
\]

Điều này cho thấy \( b^2 \) cũng chia hết cho 11, từ đó suy ra \( b \) cũng chia hết cho 11.

Như vậy, cả \( a \) và \( b \) đều chia hết cho 11, điều này mâu thuẫn với giả định rằng \( a \) và \( b \) là nguyên tố cùng nhau.

Vì vậy, giả thuyết rằng \( \sqrt{11} \) là số hữu tỉ là sai. Suy ra, \( \sqrt{11} \) là số vô tỉ.