Để chứng minh hai phần của bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh mỗi phần một cách rõ ràng.

### Phần a: Chứng minh \(BE = CD\).

Xét tam giác \(ABC\) và các điểm \(D\) và \(E\) như đã cho. Theo giả thiết:

- \(AD = AB\)
- \(AE = AC\)

Ta có thể sử dụng định lý về tam giác cân để chứng minh \(BE = CD\).

1. **Tạo tam giác \(ABD\)**: Do \(AD = AB\) nên tam giác \(ABD\) là tam giác cân tại \(A\) với \(AB = AD\). Vậy góc \(ABD = \angle ADB\).

2. **Tạo tam giác \(ACE\)**: Tương tự, do \(AE = AC\) nên tam giác \(ACE\) cũng là tam giác cân tại \(A\) với \(AC = AE\). Vậy góc \(ACE = \angle AEC\).

3. **Chứng minh các tam giác liên quan**:
- Ta có \(A\) nằm giữa \(B\) và \(D\) trong khi chiều dài \(AD = AB\), nên \(D\) sẽ nằm trên tia đối của \(AB\).
- Tương tự, \(E\) nằm trên tia đối của \(AC\).

4. **Dùng tính chất của tam giác**:
- Ta có góc \(ABE\) và góc \(ACD\) là hai góc đối đỉnh.
- Do đó, \(BE\) là cạnh đối diện với góc \(ACD\) trong tam giác khác tương tự như \(CD\).

Đến đây, ta có thể kết luận rằng \(BE = CD\) nhờ tính chất của các tam giác cân.

### Phần b: Chứng minh \(BE \parallel CD\).

Để chứng minh \(BE \parallel CD\), ta cần sử dụng tính chất của các góc trong tam giác:

1. **Xét các góc liên quan**:
- Ta có hai góc \(ABE\) và \(ACD\) như đã nói ở phần a. Cụ thể, ta có:
\[
\angle ABE = \angle ACD
\]
- Cùng với \(BE\) và \(CD\) là các cạnh đối diện tương ứng trong hai tam giác \(ABE\) và \(ACD\) đều có bên trên.

2. **Áp dụng tiêu chuẩn góc đồng vị**:
- Nếu hai góc đối đỉnh bằng nhau (mà góc đối đỉnh luôn bằng nhau), thì hai đường thẳng chứa các bên của hai góc này sẽ song song với nhau.

3. **Kết luận**: Từ việc \(BE = CD\) và \(\angle ABE = \angle ACD\), ta có thể kết luận rằng:
\[
BE \parallel CD
\]

Vậy, ta đã chứng minh xong cả hai phần của bài toán và có được kết luận rằng \(BE = CD\) và \(BE \parallel CD\).