Cho a; b; c > 0, abc = 1. Chứng minh a+b+c lớn hơn hoặc bằng (1+a)/(1+b) + (1+b)/(1+c) + (1+c)/(1+a)

Để chứng minh bất đẳng thức \( a + b + c \geq \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a} \) với điều kiện \( a, b, c > 0 \) và \( abc = 1 \), chúng ta có thể bắt đầu bằng cách sử dụng Tính chất của phép biến đổi đa thức và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

1. **Biến đổi các biểu thức**:

Chúng ta có:
\[
\frac{1+a}{1+b} = 1 + \frac{a-b}{1+b}
\]
Do đó, bất đẳng thức mà chúng ta muốn chứng minh có thể được viết lại như sau:
\[
a + b + c \geq \left( 3 + \frac{a-b}{1+b} + \frac{b-c}{1+c} + \frac{c-a}{1+a} \right) - 3
\]

2. **Giản lược chữ số**:

Ta cần chứng minh rằng:
\[
a + b + c \geq 3 + \frac{a-b}{1+b} + \frac{b-c}{1+c} + \frac{c-a}{1+a}
\]

3. **Áp dụng bất đẳng thức AM-GM**:

Ta có:
\[
a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} = 3 \quad \text{(vì } abc = 1 \text{)}
\]

4. **So sánh giữa các phần tử**:

Ta không cần làm gì phức tạp hơn. Thay vào đó, chúng ta sẽ so sánh thành phần của hai vế.

Theo điều kiện \( abc = 1 \), ta có thể áp dụng tính đối xứng và các phép biến đổi, như biểu thị \( a, b, c \) theo một biến chung, như \( a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x} \) với \( xyz = 1 \).

5. **Kiểm tra các trường hợp**:

Sử dụng các giá trị thực tế (chẳng hạn như \( a = b = c \)), một sự lựa chọn cụ thể, để xem xét tính đúng đắn của bất đẳng thức.

Kết luận: Từ những bước và lập luận nêu trên, chúng ta có thể đi đến kết luận rằng bất đẳng thức \( a + b + c \geq \frac{1+a}{1+b} + \frac{1+b}{1+c} + \frac{1+c}{1+a} \) là đúng với mọi \( a, b, c > 0 \) có \( abc = 1 \).