Để tìm số giá trị nguyên dương của tham số \( m \) nhỏ hơn 2023 sao cho phương trình \( x^3 - (2m+1)x^2 + 3(m+4)x - m - 12 = 0 \) có 3 nghiệm phân biệt, ta sẽ sử dụng điều kiện của nghiệm phân biệt dựa vào định lý Descartes hoặc điều kiện của biến thiên của hàm số.

1. **Xác định phương trình**:
\[
f(x) = x^3 - (2m+1)x^2 + 3(m+4)x - (m + 12)
\]

2. **Tính đạo hàm**:
\[
f'(x) = 3x^2 - 2(2m+1)x + 3(m+4)
\]
Để \( f(x) \) có 3 nghiệm phân biệt, cần có 2 nghiệm phân biệt của \( f'(x) \). Điều này xảy ra khi:
\[
\Delta = (2(2m+1))^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3(m+4) > 0
\]
Tính toán:
\[
\Delta = 4(2m+1)^2 - 36(m + 4)
\]
Giải bất phương trình này sẽ cho ta tìm giá trị của \( m \).

3. **Giải bất phương trình**:
\[
4(2m+1)^2 - 36(m + 4) > 0
\]
\[
4(4m^2 + 4m + 1) - 36m - 144 > 0
\]
\[
16m^2 - 32m - 140 > 0
\]
\[
4m^2 - 8m - 35 > 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-35)}}{2 \cdot 4}
\]
\[
= \frac{8 \pm \sqrt{64 + 560}}{8}
\]
\[
= \frac{8 \pm \sqrt{624}}{8}
\]
\[
= \frac{8 \pm 24.98}{8}
\]
Hai nghiệm:
\[
m_1 = \frac{32.98}{8} \approx 4.12, \quad m_2 = \frac{-16.98}{8} \approx -2.12
\]

Vậy hai nghiệm \( m < -2.12 \) hoặc \( m > 4.12 \).

4. **Giá trị nguyên dương bé hơn 2023**:
Các giá trị \( m \) nguyên dương thỏa mãn \( m \geq 5 \).

Từ 5 đến 2022 (là giá trị nguyên dương bé hơn 2023):
\[
2022 - 5 + 1 = 2018
\]
Do đó, có **2018 giá trị nguyên dương bé hơn 2023** sao cho phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Kết luận: **Có 2018 giá trị nguyên dương bé hơn 2023 của \( m \)** làm cho phương trình có ba nghiệm phân biệt.