Để chứng minh \( AM = AN \), ta sẽ sử dụng hệ tọa độ và một số tính chất hình học.

1. **Xác định tọa độ điểm:**
- Gọi tọa độ điểm \( A \) là \( A(0, 0) \).
- Gọi tọa độ điểm \( B \) là \( B(b_1, b_2) \) và tọa độ điểm \( C \) là \( C(c_1, c_2) \).

2. **Xác định tọa độ điểm D:**
- Điểm \( D \) nằm trên tia đối của tia \( AB \) sao cho \( AD = AB \).
- Tọa độ điểm \( D \) sẽ là:
\[
D(-b_1, -b_2)
\]
(vì \( AD = AB \) và \( D \) nằm ở đối diện).

3. **Xác định tọa độ điểm E:**
- Điểm \( E \) nằm trên tia đối của tia \( AC \) sao cho \( AE = AC \).
- Tọa độ điểm \( E \) sẽ là:
\[
E(-c_1, -c_2)
\]

4. **Tính tọa độ các điểm M và N:**
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( BE \):
\[
M\left(\frac{b_1 - c_1}{2}, \frac{b_2 - c_2}{2}\right)
\]
- \( N \) là trung điểm của đoạn \( CD \):
\[
N\left(\frac{c_1 - b_1}{2}, \frac{c_2 - b_2}{2}\right)
\]

5. **Tính độ dài \( AM \) và \( AN \):**

Đầu tiên ta có:
\[
AM^2 = \left(\frac{b_1 - c_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{b_2 - c_2}{2}\right)^2
\]
Và:
\[
AN^2 = \left(\frac{c_1 - b_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{c_2 - b_2}{2}\right)^2
\]

So sánh \( AM^2 \) và \( AN^2 \):
\[
AM^2 = \frac{(b_1 - c_1)^2 + (b_2 - c_2)^2}{4}
\]
\[
AN^2 = \frac{(c_1 - b_1)^2 + (c_2 - b_2)^2}{4} = AM^2
\]

Vì \( AM^2 = AN^2 \) nên \( AM = AN \).

6. **Kết luận:**
Từ các bước đã chứng minh, ta có \( AM = AN \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AM = AN \).