Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước dưới đây.

1. **Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \( C_m \) khi \( m = -3 \)**:
- Đầu tiên, thay giá trị \( m = -3 \) vào hàm số:
\[
y = x^3 - 3x^2 + 2
\]
- Tính đạo hàm:
\[
y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
\]
- Tìm các điểm cực trị:
\[
y' = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{và} \quad x = 2
\]
- Tính giá trị tại các điểm cực trị:
- Tại \( x = 0 \):
\[
y(0) = 2
\]
- Tại \( x = 2 \):
\[
y(2) = 2
\]
- Phân tích dấu của \( y' \):
- \( y' < 0 \) khi \( (-\infty, 0) \)
- \( y' > 0 \) khi \( (0, 2) \)
- \( y' < 0 \) khi \( (2, +\infty) \)
- Kết luận: Hàm số có cực đại tại \( (0, 2) \) và cực tiểu tại \( (2, 2) \).

2. **Tuy theo \( k \) giải và biện luận phương trình \( -|x| + 3x^2 + k = 0 \)**:
- Phương trình có dạng:
\[
3x^2 - |x| + k = 0
\]
- Có hai trường hợp đối với \( |x| \):
- **Khi \( x \geq 0 \)**:
\[
3x^2 - x + k = 0
\]
- **Khi \( x < 0 \)**:
\[
3x^2 + x + k = 0
\]
- Việc giải phương trình sẽ phụ thuộc vào giá trị của \( k \) và sẽ xuất hiện số nghiệm tương ứng.

3. **Gọi \( A \) và \( B \) là hai điểm cực trị của \( C \), tìm điểm \( M \) trên \( C \) sao cho tam giác \( MAB \) cân tại \( M \)**:
- Ta có \( A(0, 2) \) và \( B(2, 2) \). Điểm \( M \) nằm trên đường cong \( C \).
- Tam giác \( MAB \) sẽ cân tại \( M \) khi \( MA = MB \).

4. **Tìm \( m \) để đồ thị hàm số \( C_m \) cắt trục hoành tại điểm duy nhất**:
- Để đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất, phương trình cần có một nghiệm:
\[
x^3 + mx^2 + 2 = 0
\]
- Điều kiện cần thiết để phương trình này có một nghiệm duy nhất là:
\[
\Delta_{1} = 0
\]
- Ta có thể sử dụng đạo hàm và xét sự biến thiên của phương trình để xác định điều kiện cho \( m \).

Mỗi bước đều cần tính toán chi tiết để đi đến kết quả chính xác. Nếu bạn muốn tôi giải sâu hơn cho từng bước, vui lòng cho tôi biết!