Tìm giao điểm của AD và (PQR). Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi (PQR)

Để tìm giao điểm của đoạn thẳng \(AD\) với mặt phẳng \((PQR)\) của tứ diện \(ABCD\) mà \(P\), \(Q\), \(R\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\), \(BC\), và \(CD\), bạn cần thực hiện những bước sau:

### a) Tìm giao điểm của \(AD\) và \((PQR)\)

1. **Tìm phương trình của đoạn thẳng \(AD\)**:
- Nếu tọa độ điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(D(x_4, y_4, z_4)\), bạn có thể xác định phương trình tham số của đoạn thẳng \(AD\):
\[
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}
x_4 - x_1 \\
y_4 - y_1 \\
z_4 - z_1
\end{pmatrix}, \, t \in \mathbb{R}
\]

2. **Tìm phương trình mặt phẳng \((PQR)\)**:
- Xác định tọa độ của các điểm \(P\), \(Q\), \(R\) và lập phương trình mặt phẳng thông qua ba điểm này. Mặt phẳng có thể xác định bằng công thức:
\[
(x-x_P)(y_Q - y_P) + (y-y_P)(z_R - z_P) + (z-z_P)(x_P - x_Q) = 0
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
- Thay thế phương trình tham số của \(AD\) vào phương trình mặt phẳng \((PQR)\) và giải để tìm giá trị của \(t\). Giao điểm sẽ là các tọa độ của \(x, y, z\) tương ứng với giá trị \(t\) tìm được.

### b) Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng \((PQR)\)

Thiết diện của tứ diện \(ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \((PQR)\) sẽ là một tam giác có ba đỉnh là các giao điểm của mặt phẳng này với ba cạnh của tứ diện.

1. **Xác định ba giao điểm**:
- Tìm giao điểm giữa mặt phẳng \((PQR)\) với các cạnh \(AC\), \(BD\), và \(AB\) (hoặc các cạnh khác dựa vào yêu cầu cụ thể). Sử dụng các phương trình tương tự như trên.

2. **Xác định diện tích**:
- Sau khi có ba giao điểm, bạn có thể tính diện tích của tam giác bằng công thức Heron hoặc dựa vào định thức tọa độ nếu có tọa độ của ba điểm.

Với các thông tin cụ thể về tọa độ của các điểm, quá trình tính toán sẽ trở nên cụ thể hơn.