Cho tam giác nhọn ABC có a = 5, c = 3 và góc B = 120°. Tính b, S, góc A, góc B, h_a, m_a, R, r

Để giải bài toán, ta có các thông tin sau:

- Một tam giác nhọn ABC có:
- a = 5 (cạnh đối diện góc A)
- c = 3 (cạnh đối diện góc C)
- góc B = 120°

### 1. Tính cạnh b:
Áp dụng định lý косin:
\[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B
\]
Thay các giá trị:
\[
b^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos(120°)
\]
\[
= 25 + 9 + 15
\]
\[
= 49 \quad \Rightarrow \quad b = 7
\]

### 2. Tính góc A và góc C:
Sử dụng định lý sinus:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Tính \(\sin B\):
\[
\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Áp dụng định lý sin để tính góc A:
\[
\frac{5}{\sin A} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \quad \Rightarrow \quad \sin A = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \frac{5\sqrt{3}}{14}
\]
Tính góc A:
\[
A \approx \arcsin\left(\frac{5\sqrt{3}}{14}\right)
\]

Tính góc C:
\[
C = 180° - A - B = 180° - A - 120°
\]

### 3. Tính diện tích S:
Sử dụng công thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2}ab\sin C
\]

### 4. Tính chiều cao h_a:
\[
h_a = \frac{2S}{a}
\]

### 5. Tính trung tuyến m_a:
\[
m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}
\]

### 6. Tính bán kính R và r:
- R:
\[
R = \frac{abc}{4S}
\]
- r:
\[
r = \frac{S}{s} \quad (s = \frac{a+b+c}{2})
\]

Sau khi bạn tính toán các giá trị cần thiết từ các công thức trên, bạn sẽ có được các giá trị \(b\), \(S\), góc \(A\), \(C\), \(h_a\), \(m_a\), \(R\), và \(r\).