Để chứng minh MN = PQ và MNPQ là một hình bình hành, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh MN = PQ

1. **Gọi các điểm**:
- M là trung điểm của AB, tức là BM = MA.
- N là trung điểm của BC, tức là BN = NC.
- P là trung điểm của CD, tức là CP = PD.
- Q là trung điểm của DA, tức là DQ = QA.

2. **Chứng minh độ dài**:
- Ta có đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD cắt nhau tại điểm O, điểm O là trung điểm của cả AC và BD do tính chất của hình bình hành.

3. **Xét đoạn MN**:
- MN = (MB + BN) = (MA + AN) = \( \frac{AB + BC}{2} \)

4. **Xét đoạn PQ**:
- PQ = (PD + DQ) = (PC + CQ) = \( \frac{CD + DA}{2} \)

5. **Sử dụng tính chất của hình bình hành**:
- Do ABCD là hình bình hành, ta có AB = CD và BC = DA.
=> \( \frac{AB + BC}{2} = \frac{CD + DA}{2} \)

6. **Kết luận**:
- Vậy ta có MN = PQ.

### b) Chứng minh MNPQ là một hình bình hành

1. **Chứng minh các cặp cạnh đối song song**:
- Xét đoạn MN và PQ:
- Ta có MN // PQ, bởi vì MV là trung điểm nên MN // BD và PQ // AC.
- Xét đoạn NP và MQ:
- NP // MQ, bởi vì NP là đoạn nối giữa hai trung điểm nên NP // AC và MQ // BD.

2. **Chứng minh độ dài các cạnh**:
- Đã chứng minh MN = PQ.
- Ở đoạn NP và MQ cũng có độ dài bằng nhau vì cặp đoạn nối giữa các trung điểm của hai cạnh đối.

3. **Kết luận**:
- Hai cặp cạnh đối MN, PQ và NP, MQ đều song song và bằng nhau, do đó MNPQ là một hình bình hành.

Cuối cùng, chúng ta có thể kết luận rằng MNPQ là một hình bình hành và MN = PQ.