Để chứng minh rằng \( Mp \parallel Nq \) và các tia phân giác của góc \( pMy \) và góc \( xNq \) song song với nhau, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất về góc và tính song song trong hình học.

### a) Chứng minh \( Mp \parallel Nq \)

1. **Góc \( xMp \) và \( xNq \)**:
- Chúng ta có \( \angle xMp = 120^\circ \) và \( \angle xNq = 60^\circ \).

2. **Góc bù**:
- Tính góc bù cho \( \angle xMp \):
\[
\angle pMy = 180^\circ - \angle xMp = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
\]
- Tính góc bù cho \( \angle xNq \):
\[
\angle qNy = 180^\circ - \angle xNq = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
\]

3. **Xét các góc \( pMy \) và \( qNy \)**:
- Từ đó, ta có \( \angle pMy = 60^\circ \) và \( \angle qNy = 120^\circ \).

4. **Dùng tính chất góc**:
- Từ đó, ta nhận thấy rằng \( \angle pMy + \angle xNq = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \) và \( \angle xMp + \angle qNy = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ \).
- Điều này cho thấy rằng tổng hai góc \( \angle pMy \) và \( \angle xNq \) và tổng hai góc \( \angle xMp \) và \( \angle qNy \) là \( 180^\circ \).

5. **Kết luận**:
- Theo định lý góc đồng vị (hoặc định lý góc ngoài), nếu hai góc bên trong cùng bên của góc ngoài có tổng bằng \( 180^\circ \), thì hai đường thẳng đi qua các góc này là song song.
- Do đó, ta có \( Mp \parallel Nq \).

### b) Chứng minh các tia phân giác của góc \( pMy \) và góc \( xNq \) song song với nhau

1. **Phân giác của các góc**:
- Gọi \( d_1 \) là tia phân giác của góc \( pMy \) và \( d_2 \) là tia phân giác của góc \( xNq \).

2. **Tính các góc phân giác**:
- Tia phân giác \( d_1 \) chia góc \( pMy \) thành hai góc \( 30^\circ \) (do \( pMy = 60^\circ \)).
- Tia phân giác \( d_2 \) chia góc \( xNq \) thành hai góc \( 30^\circ \) (do \( xNq = 60^\circ \)).

3. **Tính chất song song của tia phân giác**:
- Hai tia phân giác \( d_1 \) và \( d_2 \) chia góc thành các góc bằng nhau:
\[
\angle pMd_1 = 30^\circ \quad \text{và} \quad \angle xNd_2 = 30^\circ.
\]

4. **Áp dụng định lý góc**:
- Bởi vì chúng có số đo góc bằng nhau (cùng là \( 30^\circ \)) và chúng đều nằmếu các đường thẳng liên quan. Do đó, các tia \( d_1 \) và \( d_2 \) là song song với nhau.

### Kết luận:
- Ta đã chứng minh được rằng \( Mp \parallel Nq \) và các tia phân giác của góc \( pMy \) và \( xNq \) cũng song song với nhau.