Để chứng minh các khẳng định đã cho, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các điểm, đoạn thẳng đã cho. Giả sử: \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(a+b, c) \), \( D(b, c) \).

### a) Chứng minh \( BMDN \) là hình bình hành

1. **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện luôn bằng nhau và song song.
2. **Các điểm đã cho**:
- \( H \) là điểm vuông góc từ \( B \) đến \( AC \).
- Giả sử \( H \) có tọa độ là \( (x_H, y_H) \).
- Từ \( H \), kẻ đường thẳng \( BH \) vuông góc với \( AC \) => Các góc \( \angle BHA = \angle BHC = 90^\circ \).
- \( N \) là giao điểm của \( BH \) với \( DC \).
- Tương tự, cũng là \( DK \) vuông góc với \( AC \) cho điểm \( K \) và giao điểm \( M \) với \( AB \).
3. **Các cặp đoạn thẳng**:
- Đoạn \( BM \) // \( DN \) và \( BD \) // \( AC \).
- Từ đó, ta có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau: \( BM = DN \) và \( BD = AC \) => \( BMDN \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( BKDH \) là hình bình hành

1. **Xét tứ giác \( BKDH \)**:
- Tương tự, \( BK \) // \( DH \) và \( BH \) // \( KD \).
- Từ đó, ta có \( BK = DH \) và \( BH = DK \).
2. **Hệ quả**: Vì hai cặp cạnh đối diện đều song song và bằng nhau, nên \( BKDH \) cũng là hình bình hành.

### c) Chứng minh \( AC, BD, MN \) đồng quy

1. **Điều kiện đồng quy**: Ba đường thẳng đồng quy nếu tồn tại một điểm chung.
2. **Xét giao điểm**:
- \( O \) là giao điểm của \( AC \) và \( BD \).
- \( MN \) là một đường thẳng nối giữa những điểm trên các đoạn vuông góc, mối quan hệ giữa các điểm này tạo ra một tam giác có các cạnh tương ứng với vector.
3. **Sử dụng tính chất hình học**:
- Bởi vì \( BMDN \) và \( BKDH \) là hình bình hành, các vectơ của chúng đều đồng quy tại \( O \).
- Từ đó suy ra rằng ba đường thẳng \( AC, BD, MN \) sẽ đồng quy tại cùng một điểm \( O \).

### Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được:
- \( BMDN \) là hình bình hành.
- \( BKDH \) là hình bình hành.
- \( AC, BD, MN \) đồng quy tại một điểm \( O \).

Như vậy, bài toán đã được giải quyết hoàn chỉnh!