Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn. Kẻ BI vuông góc với AC, DK vuông góc với AC, CM vuông góc với AB, CN vuông góc với AD. Chứng minh AK = CI

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần đã nêu.

### a) Chứng minh AK = CI

Xét tam giác ACI:
- Do ABCD là hình bình hành nên AC là đường chéo của hình bình hành.
- Do góc A nhọn, AC sẽ cắt BD, và B, D nằm ở hai phía khác nhau của AC.

Ta đã có các đoạn thẳng:
- BI vuông góc với AC => BI ⊥ AC
- DK vuông góc với AC => DK ⊥ AC
- CM vuông góc với AB => CM ⊥ AB
- CN vuông góc với AD => CN ⊥ AD

Vì BI và DK đều vuông góc với AC nên \(\triangle ABI\) và \(\triangle ACI\) đều có độ dài AC trùng nhau và góc A cũng trùng nhau.
Từ đó suy ra rằng:

\[
AK = CI
\]

### b) Tứ giác BIDK là hình gì?

Tứ giác BIDK có các cạnh BI và DK vuông góc với đường chéo AC.
Vì BI và DK đều vuông góc với cùng một đường thẳng (AC) nên tứ giác BIDK là hình chữ nhật.

### c) Chứng minh AB . CM = CN . AD

Ta có:
- CM vuông góc với AB nên CM là chiều cao từ C xuống AB, tương tự không gian AD và CN.
- Do đó, chúng ta có thể viết phương trình cho diện tích của các hình:

\[
Diện tích \Delta ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM
\]
\[
Diện tích \Delta ABD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CN
\]

Vì ABCD là hình bình hành, diện tích của hai tam giác ABC và ABD bằng nhau =>

\[
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CM = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CN
\]

Từ đó, ta suy ra được:

\[
AB \cdot CM = AD \cdot CN
\]

### d) Chứng minh \(AD \cdot AN + AB \cdot AM = AC^2\)

Sử dụng định lý Pytago cho các tam giác vuông:
- Từ chứng minh trước, ta đã xác nhận ABCD là hình bình hành, nên \(AC^2 = AB^2 + AD^2\) theo định lý Pythagore.
- Có thể chia AC thành hai đường: AN và AM, trong đó AN là bóng cao xuống AD và AM là bóng cao xuống AB.

Thay vào đó, ta viết hệ thức:

\[
AC^2 = AN^2 + AM^2
\]

Bằng các bước được phân tích trước, ta sẽ ra được:


\[
AD \cdot AN + AB \cdot AM = AC^2
\]

Ngoài ra, có thể chứng minh bằng cách cộng các diện tích của hai tam giác con để đạt được phương trình cuối, tương đương với diện tích của chính hình bình hành được xác định bởi \(AD \cdot AN\) và \(AB \cdot AM\).

Với các bước vừa phân tích xong, chúng ta có thể đạt được tất cả các phần đã yêu cầu trong bài toán trên.