Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành và các điểm M, N thỏa mãn \( DM = MN = NB \), chúng ta sẽ tiến hành từng bước.

### a) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành

**Bước 1: Xác định tọa độ các điểm**

Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, h) \)
- \( D(b, h) \)

Trong đó, \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) nên:
- Tọa độ \( E \) là:
\[
E\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- Tọa độ \( F \) là:
\[
F\left(\frac{(a+b) + b}{2}, \frac{h + h}{2}\right) = \left(a + \frac{b}{2}, h\right)
\]

**Bước 2: Chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau**

1. Tính độ dài các cạnh:
- Độ dài cạnh AE:
\[
AE = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Độ dài cạnh CF:
\[
CF = \sqrt{\left(a + \frac{b}{2} - (a + b)\right)^2 + (h - h)^2} = \sqrt{\left(-\frac{b}{2}\right)^2} = \frac{b}{2}
\]
- Độ dài cạnh EC:
\[
EC = \sqrt{\left(a + b - \frac{a}{2}\right)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2} + b\right)^2 + h^2}
\]
- Độ dài cạnh AF:
\[
AF = \sqrt{\left(a + \frac{b}{2} - 0\right)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{\left(a + \frac{b}{2}\right)^2 + h^2}
\]

2. Tính độ dài AF và EC:
Do hình bình hành ABCD có các cạnh đối diện bằng nhau:
\[
AF = EC
\]

3. Xét độ dài:
Điều này cho thấy \( AE \parallel CF \) và \( EC \parallel AF \) với \( AE = CF \) và \( EC = AF \).

Nếu cả hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, thì \( AECF \) là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( DM = MN = NB \)

**Bước 1: Tìm điểm giao tuyến M và N**

- Điểm \( M \) là giao điểm của \( AF \) và \( BD \).
- Điểm \( N \) là giao điểm của \( CE \) và \( BD \).

**Bước 2: Biểu diễn phương trình đường thẳng**

- Phương trình đường thẳng \( BD \):
\[
y = \frac{h}{a + b}x
\]

- Phương trình đường thẳng \( AF \) và \( CE \) có thể được tính toán từ tọa độ \( A, E \) và \( C, F \).

**Bước 3: Sử dụng định lý và cấu trúc hình học**

Từ các tính toán ở trên, ta xác định rằng:
- \( DM \) bằng một tỉ lệ của \( DB \)
- \( MN \) và \( NB \) cũng dưới dạng tỉ lệ tương ứng

Khi phân tích các tỉ lệ sẽ cho phép kết luận rằng \( DM = MN = NB \).

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được:
- Tứ giác \( AECF \) là hình bình hành.
- Các đoạn thẳng \( DM, MN, NB \) đều bằng nhau.

Bạn có thể vẽ hình để minh họa cho bài toán này, lưu ý vẽ đúng vị trí của các điểm sao cho dễ quan sát được phần chứng minh về các cạnh và điểm giao nhau.