Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường thẳng AB và AD lần lượt tại các điểm M và N

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a) Tính độ dài các đoạn thẳng MB, MC và tính số góc ACB

1. **Hình chữ nhật ABCD** có các cạnh:
- \( AB = 4 \, \text{cm} \)
- \( BC = 3 \, \text{cm} \)

2. Gọi điểm C là giao điểm của đường chéo AC.
- Do ABCD là hình chữ nhật, ta có \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \, \text{cm} \).

3. Khi kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, ta cần tìm MB và MC:
- Điểm M nằm trên đoạn thẳng AB và điểm N nằm trên đoạn thẳng AD.
- Đoạn MB là chiều dài từ B đến M (có thể được tính theo chiều cao).
- Đoạn MC là chiều dài từ C đến M.

4. Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ACB:
- Đoạn MB và đoạn MC liên quan đến độ dài theo các cạnh của hình chữ nhật và có thể tính thông qua kích thước đã cho.

### b) Chứng minh rằng \( AB \cdot MB + AD \cdot ND = AC^2 \)

- Với \( AB \) = 4 cm, \( AD \) = 3 cm, ta cần chỉ ra rằng:
\[
4 \cdot MB + 3 \cdot ND = 5^2 = 25
\]
- Ta có thể sử dụng định luật Pythagore cho tam giác ACB để kết luận.

### c) Chứng minh tam giác PAQ đồng dạng với tam giác PMN và tính \(\frac{S_{PAQ}}{S_{PMN}}\)

1. Lấy điểm P sao cho \( NP = NM \):
- Tia MP cắt tia ANM tại điểm Q.

2. Từ đề bài, ta biết rằng \( \tan PMA = 0.75 \):
- Sử dụng định lý về góc đồng dạng, căn cứ vào các tỷ lệ cạnh tương ứng giữa các tam giác PAQ và PMN.

3. Sử dụng các tỉ số giữa các đoạn thẳng và hình học của tam giác để tìm tỉ số diện tích:
\[
\frac{S_{PAQ}}{S_{PMN}} = \frac{a_A^2}{a_M^2} (với a_A và a_M là các cạnh tương ứng)
\]

Hy vọng các hướng dẫn trên giúp bạn tiến hành được phần nội dung của bài toán. Nếu cần thêm chi tiết hoặc có phần nào chưa rõ, hãy cho tôi biết!