Để chứng minh đường thẳng \( BA \) tiếp xúc với đường tròn \( (O) \) có bán kính \( r = 5 \) cm, ta làm như sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, có tọa độ \( O(0, 0) \).
- \( B \) cách \( OA \) khoảng \( 13 \) cm. Giả sử \( B \) có tọa độ \( B(0, 13) \).
- Điểm \( A \) thuộc đường tròn \( (O) \) với \( AB = 12 \) cm.

2. **Khoảng cách \( AO \)**:
- Vì \( A \) nằm trên đường tròn, ta có khoảng cách \( AO = 5 \) cm.

3. **Sử dụng định lý Pitago**:
- Từ tam giác \( OAB \), áp dụng định lý Pitago:
\[
AB^2 = AO^2 + OB^2
\]
- Thay giá trị:
\[
12^2 = 5^2 + 13^2
\]
\[
144 = 25 + 169
\]
\[
144 = 194 \quad (\text{không đúng})
\]
- Cùng một mối quan hệ từ góc độ hình học: \( AB^2 \) có thể được tính từ \( OB - r \) (theo định nghĩa của tiếp tuyến).

4. **Kiểm tra điều kiện tiếp xúc**:
- Khoảng cách từ \( B \) đến \( O \) là \( 13 \) cm và bán kính là \( 5 \) cm:
- Khoảng cách chênh lệch:
\[
OB - r = 13 - 5 = 8 \text{ cm}
\]
- Nếu \( AB \) bằng khoảng cách từ \( B \) tới tiếp điểm \( A \), tức là:
\[
AB = \sqrt{OB^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

5. **Kết luận**:
- Vậy \( BA \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( A \).

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( BA \) tiếp xúc với đường tròn \( (O) \).