Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}}{\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1}} \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

1. **Rút gọn từng phần của biểu thức.**

Phần tử số \( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \):

Ta quy đồng:

\[
\frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) + (x - \sqrt{x})}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}
\]

2. **Tính phần mẫu:**

Phần mẫu \( \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1} \):

Nhận thấy rằng \( x - 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} - 1)^2 \), từ đó có thể viết lại:

\[
\frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)^2}
\]

3. **Kết hợp lại để có biểu thức hoàn chỉnh:**

Vậy biểu thức \( P \) trở thành:

\[
P = \frac{\frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}}{\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)^2}} = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x}(x - \sqrt{x})}
\]

4. **Tiến hành đơn giản hóa:**

Phần tử số có thể viết lại như sau:

\[
(x - 1)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1) = (x - 1)(\sqrt{x} - 1)^2
\]

Mẫu đơn giản hóa thành:

\[
\sqrt{x}(x - \sqrt{x}) = \sqrt{x}( \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)) = x(\sqrt{x} - 1)
\]

Thay vào ta có:

\[
P = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x}( \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1))} = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)}{x}
\]

Từ đây, ta bị phá đi được các yếu tố giống nhau (nếu có).

Cuối cùng, nhưng không kém phần quan trọng, sẽ cho ra kết quả là:

\[
P = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)}{x}
\]

Điều này có thể thử với các giá trị x cho thấy sự chính xác của biểu thức đã rút gọn.