Để chứng minh bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### a. Chứng minh rằng: ∆ABE = ∆ACE

1. **Cho biết:** Tam giác ABC có AB = AC, tức là cạnh AB bằng cạnh AC.
2. **Phân giác AE:** Do AE là phân giác của góc BAC, nên góc BAE = góc CAE.
3. **Thông tin đồng nhất:** Ta có:
- AB = AC (theo giả thiết).
- góc BAE = góc CAE (do AE là phân giác của góc BAC).
- AE chung cho cả hai tam giác ABE và ACE.

4. **Áp dụng tiêu chí cạnh - góc - cạnh (C.G.C)**:
Từ những thông tin trên, ta có:
- Cạnh AB = cạnh AC,
- Góc BAE = góc CAE,
- Cạnh AE = cạnh AE.

Vậy theo tiêu chí C.G.C, chúng ta có:

\[
\triangle ABE \cong \triangle ACE
\]

### b. Chứng minh rằng: AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

1. **Sử dụng kết quả chứng minh ở phần a:** Từ đó suy ra rằng các cạnh BE và CE cũng bằng nhau. Tức là BE = CE.
2. **Định nghĩa về đường trung trực:** Đường trung trực của đoạn thẳng BC là tập hợp các điểm cách đều B và C. Nếu AE là đường trung trực, thì mọi điểm trên AE sẽ có khoảng cách bằng nhau đến B và C.
3. **Kết luận:** Vì chúng ta đã chứng minh rằng BE = CE từ hai tam giác bằng nhau ở trên, do đó AE chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

**Kết luận:** Ta đã chứng minh được rằng:
- a. \(\triangle ABE \cong \triangle ACE\)
- b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.