Đường tròn (C) đi qua điểm A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox và Oy. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Để giải quyết vấn đề này, trước hết ta cần xác định vị trí và bán kính của đường tròn (C) có tâm nằm tại điểm (r; r), với r là bán kính. Do (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox và Oy, ta có:

1. Tâm đường tròn (C) có dạng (r; r)
2. Đường tròn đi qua điểm A(2; -1), tức là khoảng cách từ tâm đến điểm A bằng bán kính:

\[
\sqrt{(r - 2)^2 + (r - (-1))^2} = r
\]

Giải phương trình này:

\[
\sqrt{(r - 2)^2 + (r + 1)^2} = r
\]
Bình phương hai vế:

\[
(r - 2)^2 + (r + 1)^2 = r^2
\]

Giải ra sẽ được:

\[
r^2 - 4r + 4 + r^2 + 2r + 1 = r^2
\]

\[
2r^2 - 2r + 5 = r^2
\]

\[
r^2 - 2r + 5 = 0
\]

Phương trình không có nghiệm thực, do đó không có đường tròn (C) thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Bây giờ đánh giá các mệnh đề:

a) Đường tròn (C) đi qua điểm N(1; 0): **Sai** (không có đường tròn)

b) Đường tròn (C) đi qua điểm M(1; 1): **Sai** (không có đường tròn)

c) Có 2 đường tròn thỏa mãn: **Sai** (không có đường tròn)

d) Tổng bán kính các đường tròn thỏa mãn bằng 5: **Sai** (không có đường tròn)

Vì vậy, tất cả các mệnh đề đều **Sai**.