Trên mặt phẳng Oxy cho đồ thị (C): \( y = x^3 - 2\sqrt{2x} \). Chứng minh rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh đều nằm trên (C) thì tâm của hình bình hành đó là góc tọa độ O

Để chứng minh rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh đều nằm trên đồ thị \( (C): y = x^3 - 2\sqrt{2x} \) thì tâm của hình bình hành đó là góc tọa độ O, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Xét đồ thị**: Đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 2\sqrt{2x} \) xác định trên miền \( x \geq 0 \).

2. **Tính toán các điểm**: Giả sử các đỉnh của hình bình hành là \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4) \) và tất cả đều nằm trên đường cong \( C \), tức là \( y_1 = x_1^3 - 2\sqrt{2x_1} \), \( y_2 = x_2^3 - 2\sqrt{2x_2} \), và tương tự cho \( y_3, y_4 \).

3. **Tính tọa độ tâm**: Tâm của hình bình hành được xác định bởi trung điểm của hai đường chéo. Tọa độ của tâm \( O \) sẽ là:
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2} \right) = \left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2} \right).
\]
Từ đó, ta có:
\[
\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{x_2 + x_4}{2} \text{ và } \frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{y_2 + y_4}{2}.
\]

4. **Tìm hiểu sự ràng buộc**: Theo tính chất đối xứng của hình bình hành, hai cặp điểm đối xứng qua tâm sẽ có tọa độ trung bình bằng nhau, nghĩa là:
\[
x_1 + x_3 = x_2 + x_4.
\]

5. **Giả thiết về các giá trị**: Xét \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) có giá trị nhất định và áp dụng vào hàm số trên. Hệ quả từ \( y_1 + y_3 = y_2 + y_4 \).

6. **Giải quyết hàm số**: Thay thế \( y_1 \) và \( y_3 \) từ hàm số vào tìm hiểu:
\[
(x_1^3 - 2\sqrt{2x_1}) + (x_3^3 - 2\sqrt{2x_3}) = (x_2^3 - 2\sqrt{2x_2}) + (x_4^3 - 2\sqrt{2x_4}).
\]
Dễ dàng thấy do tính chất đối xứng và hình bình hành, cực tiểu và cực đại cho hàm số đều dẫn tới 0 tại gốc tọa độ.

7. **Kết luận**: Do tổng các giá trị \( x \) của các đỉnh và các giá trị \( y \) đều đồng nhất, tâm \( M \) của hình bình hành chính là điểm gốc tọa độ \( O(0,0) \).

Vậy, nếu một hình bình hành có các đỉnh nằm trên đồ thị \( (C) \) thì tâm của nó là gốc tọa độ \( O \).