Để phân tích mỗi đa thức thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như nhân tử hóa theo nhóm, sử dụng định lý Bézout, hoặc phân tích theo phương pháp tìm nghiệm. Dưới đây là phân tích cho từng đa thức một:

1. **Đa thức**: \( P(x) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

Để phân tích đa thức này, ta thử tìm nghiệm của đa thức.

Khi thử với \( x = -2 \):
\[
P(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 12(-2) + 8 = -8 + 24 - 24 + 8 = 0
\]
Vậy \( x = -2 \) là một nghiệm.

Bây giờ ta chia đa thức \( P(x) \) cho \( x + 2 \) bằng phép chia đa thức:

\[
P(x) = (x + 2)(x^2 + 4x + 4)
\]
\( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \).

Do đó, ta có:
\[
P(x) = (x + 2)^3
\]

2. **Đa thức**: \( Q(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \)

Tương tự, ta thử tìm nghiệm cho \( Q(x) \).

Khi thử với \( x = 2 \):
\[
Q(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - 8 = 8 - 24 + 24 - 8 = 0
\]
Vậy \( x = 2 \) là một nghiệm.

Thực hiện phép chia đa thức \( Q(x) \) cho \( x - 2 \):
\[
Q(x) = (x - 2)(x^2 - 4x + 4)
\]
\( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \).

Do đó, ta có:
\[
Q(x) = (x - 2)^3
\]

3. **Đa thức**: \( R(x) = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 \)

Để phân tích đa thức này, ta kiểm tra xem nó có thể được viết dưới dạng tích của các đa thức bậc thấp hơn hay không.

Ta thử nghiệm một số giá trị x, nhưng cách nhanh hơn để giải là tìm nghiệm gần đúng hoặc sử dụng các công thức.

Sử dụng quy tắc phân tích trực tiếp:
\[
R(x) = (2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)
\]
Ta kiểm tra lại:
Khi nhân \( 2x + 1 \) với \( 4x^2 + 2x + 1 \):
\[
= 2x(4x^2) + 2x(2x) + 2x(1) + 1(4x^2) + 1(2x) + 1(1) = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1
\]

Do đó, ta có:
\[
R(x) = (2x + 1)(4x^2 + 2x + 1)
\]

Tóm lại, kết quả phân tích các đa thức là:
1. \( P(x) = (x + 2)^3 \)
2. \( Q(x) = (x - 2)^3 \)
3. \( R(x) = (2x + 1)(4x^2 + 2x + 1) \)