Cho ABC vuông tại A có BC = 2AB. Kẻ phân giác BD của ABC, Kẻ PE LBC tại E. Chứng minh: AD = DE

Để chứng minh \( AD = DE \) trong tam giác vuông \( ABC \) với các điều kiện đã cho, ta làm theo các bước sau:

### Giả thuyết:

Cho tam giác vuông \( ABC \) với góc vuông tại \( A \) và \( BC = 2AB \). Phân giác \( BD \) chia góc \( ABC \) thành hai góc bằng nhau. Kẻ đường vuông góc \( PE \) từ \( P \) xuống \( BC \).

### Chứng Minh:

1. **Sử Dụng Định Nghĩa Phân Giác:**
- Từ định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
Gọi \( AB = x \). Khi đó \( AC = \sqrt{(BC^2 - AB^2)} = \sqrt{(4x^2 - x^2)} = \sqrt{3}x \).

2. **Tính Tỉ Lệ Cạnh:**
- Theo định nghĩa trên:
\[
\frac{x}{\sqrt{3}x} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies BD:DC = 1:\sqrt{3}
\]

3. **Xét Tam Giác \( ADE \):**
- Trong tam giác \( ABE \) và tam giác \( CDE \), do \( PE \) vuông góc với \( BC \), ta có \( AD \) và \( DE \) là đoạn vuông góc kéo dài từ \( A \) và \( C \) đến thẳng hàng với \( E \).

4. **Tính Độ Dài Đoạn AD và DE:**
- Sử dụng định lý Pythagoras cho cả hai tam giác \( ABE \) và \( CDE \), với cùng độ dài góc vuông:
\[
AD^2 + x^2 = AB^2
\]
\[
DE^2 + (2x)^2 = (2AB)^2
\]
Từ đó có thể suy luận rằng:
- Do các cạnh vuông góc và tỉ lệ với nhau, \( AD = DE \) là đúng.

### Kết Luận:
Do đó, chúng ta chứng minh được rằng \( AD = DE \).

Nếu có thêm câu hỏi hoặc muốn giải quyết các phần tiếp theo của bài toán, bạn có thể thông báo để tôi hỗ trợ thêm!