Tính và rút gọn biểu thức

Chúng ta sẽ tính và rút gọn từng biểu thức một theo yêu cầu:

### 1. Tính biểu thức:
\[ A = 1 \cdot 5^2 \cdot 2^3 - 7^2 \cdot 2^2 \cdot (11 \cdot 3^2 \cdot 3^7 - 9^{15}) : [2^2 \cdot (3^{14})^2] \]

**Bước 1: Tính từng phần trong biểu thức.**

1. \( 5^2 = 25 \)
2. \( 2^3 = 8 \)
3. \( 7^2 = 49 \)
4. \( 2^2 = 4 \)
5. Tính \( 3^2 \cdot 3^7 = 3^{2+7} = 3^9 \)
6. \( 9^{15} = (3^2)^{15} = 3^{30} \)

Vậy, ta có:

\[
11 \cdot 3^9 - 9^{15} = 11 \cdot 3^9 - 3^{30}
\]

**Bước 2: Rút gọn phần này**

Đưa về chung một cơ số:

\[
= 11 \cdot 3^9 - 3^{30}
\]
Thấy rằng \( 3^{30} = 3^{9} \cdot 3^{21} \), nên ta có:

\[
= 3^9 (11 - 3^{21})
\]

**Bước 3: Thay vào A**

\[
A = 1 \cdot 25 \cdot 8 - 49 \cdot 4 \cdot [3^9 (11 - 3^{21})]
\]
Tính \( 25 \cdot 8 = 200 \)
Tính \( 49 \cdot 4 = 196 \)

Vậy:

\[
A = 200 - 196 \cdot 3^9 (11 - 3^{21})
\]

Đến đây ta không thể rút gọn hơn mà chỉ dừng lại ở mức biểu thức tường minh.

### 2. Tính biểu thức:
Ta tính từng phần nữa của biểu thức A.

Ở bước này, ta phải xét dữ kiện \( 3^9(11 - 3^{21}) \).
Tuy nhiên, để tính A sẽ phụ thuộc vào việc xác định xem 11 có lớn hơn \( 3^{21} \) hay không, và đánh giá chính xác kết quả.

Do đó, ta viết lại là:

\[
A = 200 - 196 \cdot 3^9 (11 - 3^{21})
\]

Chúng ta sẽ để nguyên A ở đây, vì không có số cụ thể cho \( 3^{21} \) để biết chính xác kết quả.

### 3. Rút gọn biểu thức:
\[ A = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^{100} \]

Đây là một cấp số nhân với \( a = 1, r = 2 \), số hạng cuối là \( 2^{100} \), có \( n = 101 \) số hạng.

Công thức tổng của cấp số nhân là:

\[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Thay vào:

\[
A = 1 \cdot \frac{1 - 2^{101}}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{101}}{-1} = 2^{101} - 1
\]

### 4. Rút gọn biểu thức:
\[ B = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{2024} \]

Cũng là một cấp số nhân, với \( a = 3, r = 3 \), số hạng cuối là \( 3^{2024} \), có \( n = 2024 \) số hạng.

Vậy:

\[
B = 3 \cdot \frac{1 - 3^{2024}}{1 - 3} = 3 \cdot \frac{1 - 3^{2024}}{-2} = \frac{3^{2025} - 3}{2}
\]

### Kết luận:
1. Biểu thức \( A \) vẫn để nguyên do không xác định cụ thể số.
2. \( B = \frac{3^{2025} - 3}{2} \)

Hy vọng câu trên đã giúp bạn hoàn thành!