Để chứng minh rằng tam giác \( \Delta OAB \) là tam giác đều và tính độ dài đoạn \( BC \), ta thực hiện các bước sau:

### Câu a: Chứng minh rằng \( \Delta OAB \) là tam giác đều

1. **Thông tin độ dài đoạn thẳng**:
- \( O \) là tâm của đường tròn.
- Đường kính \( OA \) có độ dài bằng bán kính, nghĩa là \( OA = 3 \) cm.

2. **Điểm \( B \)** là giao điểm của đường thẳng \( d \) vuông góc với \( OA \) tại trung điểm của \( OA \) (gọi là \( M \)). Do đó, \( OM = \frac{OA}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \) cm.

3. **Tính độ dài \( OB \)**:
- \( OB^2 = OA^2 - AM^2 \)
- \( OA = 3 \) cm, \( AM = 1.5 \) cm, nên tính được:
\[
OB^2 = 3^2 - 1.5^2 = 9 - 2.25 = 6.75
\]
\[
OB = \sqrt{6.75} = \sqrt{\frac{27}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ cm}
\]

4. **Tính \( AB \)**:
- Vì \( A \) là điểm nằm trên đường tròn, nên:
\[
AB = OA = 3 \text{ cm}
\]

5. **So sánh các độ dài**:
- \( OA = 3 \) cm
- \( OB = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) cm
- Mặt khác, vì điểm \( B \) thuộc đường tròn nên \( OB = OA \).

6. **Kết luận**:
- \( OA = OB \), do đó \( \Delta OAB \) là tam giác đều.

### Câu b: Tính độ dài đoạn \( BC \)

1. **Xét tam giác \( OBC \)**:
- Điểm \( C \) cũng thuộc đường tròn, và \( OC = AO = 3 \) cm.
- Do \( d \) vuông góc với \( OA \) tại \( M \), nên \( BM \) và \( CM \) cũng là các cạnh của tam giác vuông với độ dài là:

2. **Tính \( BC \)**:
- \( BC = AB \) do \( A, B, C \) nằm trên cùng một đường tròn.

Vậy \( BC = 3 \) cm.