Cho tam giác MNP vuông tại M có MN = 3cm, MP = 4cm. Vẽ đường tròn (O) đường kính MN cắt NP tại H. a) Tính MH và PH. b) Kẻ OA vuông góc với MH tại A tia OA cắt MP tại E. Chứng minh rằng EH vuông góc với OH

Ta sẽ giải bài toán theo từng phần:

### a) Tính MH và PH.

Vì tam giác MNP vuông tại M, ta có:

- MN = 3 cm
- MP = 4 cm

Sử dụng định lý Pythagore để tính cạnh còn lại NP:

\[
NP = \sqrt{MP^2 + MN^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

Gọi H là giao điểm của đường tròn (O) có đường kính MN với NP. Do O là trung điểm của MN, ta có:

\[
OM = ON = \frac{MN}{2} = \frac{3}{2} \text{ cm}
\]

Ta có thể xác định các độ dài MH và PH như sau:

Vì H nằm trên NP, ta có thể tính MH và PH bằng cách sử dụng tỉ lệ. Theo tính chất của hình học, trong tam giác vuông, đoạn AH thuộc đường tròn đường kính MN chia NP thành hai đoạn tỉ lệ thuận với các cạnh MN và MP.

Do đó, ta áp dụng tỉ lệ giữa các cạnh:

\[
MH : PH = MN : MP = 3 : 4
\]

Gọi \(MH = 3k\) và \(PH = 4k\). Từ đó ta có:

\[
MH + PH = NP \Rightarrow 3k + 4k = 5 \Rightarrow 7k = 5 \Rightarrow k = \frac{5}{7}
\]

Suy ra:

\[
MH = 3k = 3 \times \frac{5}{7} = \frac{15}{7} \text{ cm}
\]
\[
PH = 4k = 4 \times \frac{5}{7} = \frac{20}{7} \text{ cm}
\]

### b) Chứng minh EH vuông góc với OH.

Giả sử OA \(\perp\) MH tại điểm A, và sao cho OA cắt MP tại điểm E.

Theo tính chất của tam giác vuông, điểm H là giao điểm của đường tròn đường kính MN với NP. Từ tính chất của đường tròn, ta biết rằng góc OHM là góc vuông.

Bây giờ, để chứng minh rằng EH vuông góc với OH, ta sử dụng tính chất vuông góc của đường kính trong đường tròn:

Điểm E nằm trên MP nên ta cũng có góc HEA = góc OHM. Vì mọi đường vuông góc từ đường tròn ra tới cạnh bên cũng là góc vuông, suy ra:

\[
EH \perp OH
\]

Thông qua các tính chất của đường tròn và định nghĩa các điểm sẽ cho chúng ta biết rằng đoạn EH vuông góc với OH.

Như vậy, ta đã giải quyết được bài toán.