Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đặt số cam ban đầu là \(x\) và số quả cũng như các tiết mục tặng cam theo từng giai đoạn. Chúng ta cần tính toán theo thứ tự từng lần tặng cam.

1. **Lần 1: Tặng cho tiết mục đồng ca**
- Số cam đã tặng: \(\frac{5}{6}x\)
- Số quả đã tặng: \(1\)
- Số cam còn lại sau lần 1: \(x - \frac{5}{6}x = \frac{1}{6}x\)

2. **Lần 2: Tặng cho tiết mục tốp ca**
- Số cam còn lại: \(\frac{1}{6}x\)
- Số cam đã tặng: \(\frac{6}{7} \left(\frac{1}{6}x\right) = \frac{1}{7}x\)
- Số quả đã tặng: \(1\)
- Số cam còn lại sau lần 2: \(\frac{1}{6}x - \frac{1}{7}x\)

Để trừ hai phân số này, chúng ta quy đồng:
\[
\frac{1}{6}x - \frac{1}{7}x = \frac{7}{42}x - \frac{6}{42}x = \frac{1}{42}x
\]

3. **Lần 3: Tặng cho tiết mục đơn ca**
- Số cam còn lại: \(\frac{1}{42}x\)
- Số cam đã tặng: \(\frac{3}{4} \left(\frac{1}{42}x\right) = \frac{3}{168}x = \frac{1}{56}x\)
- Số quả đã tặng: \(1\)
- Số cam còn lại sau lần 3: \(\frac{1}{42}x - \frac{1}{56}x\)

Tương tự, quy đồng hai phân số này:
\[
\frac{1}{42}x - \frac{1}{56}x = \frac{4}{168}x - \frac{3}{168}x = \frac{1}{168}x
\]

Theo đề bài, sau 3 lần tặng, số cam còn lại chính là 0:
\[
\frac{1}{168}x = 0
\]

Chúng ta sẽ cần để tính tổng số cam:
Để xác định số cam ban đầu, bạn hãy coi số quả ban đầu cần tặng là \(y\). Tổng số quả được trao là 3, vậy số quả ban đầu là \(y = 3\).

Tổng số cam được tặng:
- Lần 1: \(\frac{5}{6}x\) + 1
- Lần 2: \(\frac{1}{7}\left(\frac{1}{6}x\right)\) + 1
- Lần 3: \(\frac{3}{4}\left(\frac{1}{42}x\right)\) + 1

Cuối cùng, tìm \(x\) từ các quy trình này và bạn có được số cam ban đầu và số cam được tặng cho từng tiết mục:

Tính số cam:
- Tổng cộng (tổng cam trước khi hết) \(= 5 + 3 = 8\)

Tóm lại, để tìm ra chính xác số cam mà nhà trường đã thực sự tặng cho từng tiết mục, chúng ta sẽ cần giải chính xác từng phần và dùng phép tính cụ thể cho các bước tặng. Chúc bạn hoàn thành tốt bài toán này!