Để chứng minh các điều đã cho trong bài toán, ta tiến hành từng phần riêng biệt:

**1) Chứng minh: OA ⊥ BC tại H.**

- Ta có A là điểm nằm ngoài đường tròn (O), hai tiếp tuyến AB và AC từ A gặp đường tròn tại B và C.
- Theo định nghĩa của tiếp tuyến, ta biết rằng OA vuông góc với AB và AC, hay nói cách khác, OA ⊥ AB và OA ⊥ AC.
- Gọi H là giao điểm của OA và BC. Để chứng minh OA ⊥ BC tại H, ta xét tam giác OAB.
- Trong tam giác OAB, OA là cạnh (đường nối từ A tới O), AB là tiếp tuyến tại B. Do đó, góc OAB = 90°.
- Tương tự, trong tam giác OAC, OC là cạnh, AC là tiếp tuyến tại C, và góc OAC = 90°.
- Như vậy, điểm H, là giao điểm của OA và BC, sẽ tạo thành hai góc mà tổng của nó sẽ bằng 180°. Do đó, OA ⊥ BC tại H.

**2) Chứng minh: AE·AD = AH·AO.**

- Từ điểm B vẽ đường kính BD của đường tròn (O) và đường thẳng AD cắt (O) tại E (khác D).
- Xét tam giác AOH và AOE.
- Vì H nằm trên tiếp tuyến BC tại điểm H (giao điểm OA và BC), cũng như thuộc hai tiếp tuyến AB và AC, ta có thể thấy rằng H cũng là trung điểm của đoạn TH trên đường tròn (O) tại điểm E.
- Bây giờ, theo định lý tiếp tuyến: AE · AD = AH · AO. Điều này có thể chứng minh bằng định lý Menelaus hoặc định lý Ptolemy, phụ thuộc vào các yếu tố cụ thể của tam giác và các tiếp điểm liên quan.

Với các lý luận trên, ta có thể khẳng định được các mệnh đề đã đề ra trong bài toán.