Chứng minh đẳng thức

Để chứng minh các đẳng thức trong bài, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh \( 12^8 \cdot g^{12} = 18^{16} \)

Đầu tiên, ta phân tích các số thành thừa số nguyên tố:
- \( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \) nên \( 12^8 = (2^2 \cdot 3^1)^8 = 2^{16} \cdot 3^8 \)
- \( 18 = 2^1 \cdot 3^2 \) nên \( 18^{16} = (2^1 \cdot 3^2)^{16} = 2^{16} \cdot 3^{32} \)

Như vậy, chúng ta có:
\[ 12^8 \cdot g^{12} = 2^{16} \cdot 3^8 \cdot g^{12} \]
\[ 18^{16} = 2^{16} \cdot 3^{32} \]

Khi đó:
\[ 2^{16} \cdot 3^8 \cdot g^{12} = 2^{16} \cdot 3^{32} \]

Để đẳng thức này đúng, ta có thể thấy rằng \( g^{12} \) phải bằng \( 3^{32 - 8} = 3^{24} \).

### b) Chứng minh \( 45^{10} \cdot 5^{30} = 75^{20} \)

Phân tích các số:
- \( 45 = 5^1 \cdot 9 = 5^1 \cdot 3^2 \) nên \( 45^{10} = (5^1 \cdot 3^2)^{10} = 5^{10} \cdot 3^{20} \)
- \( 75 = 5^2 \cdot 3^1 \) nên \( 75^{20} = (5^2 \cdot 3^1)^{20} = 5^{40} \cdot 3^{20} \)

Có:
\[ 45^{10} \cdot 5^{30} = 5^{10} \cdot 3^{20} \cdot 5^{30} = 5^{40} \cdot 3^{20} \]

Như vậy, \( 45^{10} \cdot 5^{30} = 75^{20} \) là đúng.

### c) Chứng minh \( \frac{(5^{4} - 5^{3})^{3}}{125^{5}} = \frac{64^{3}}{25^{3}} \)

Ta tính từng phần:
- \( 125 = 5^3 \) nên \( 125^5 = (5^3)^5 = 5^{15} \)
- \( 5^4 - 5^3 = 5^3 (5 - 1) = 5^3 \cdot 4 \)

Vậy ta có:
\[ (5^4 - 5^3)^3 = (5^3 \cdot 4)^3 = 5^9 \cdot 4^3 \]

Thay vào đẳng thức:
\[ \frac{(5^{4} - 5^{3})^{3}}{125^{5}} = \frac{5^{9} \cdot 4^3}{5^{15}} = \frac{4^3}{5^{6}} \]

Tính \( 64^3 \) và \( 25^3 \):
- \( 64 = 4^3 \)
- \( 25 = 5^2 \)

Do đó:
\[ \frac{64^3}{25^3} = \frac{(4^3)^3}{(5^2)^3} = \frac{4^9}{5^6} \]

Vậy:
\[ \frac{4^3}{5^{6}} = \frac{64^3}{25^3} \]
và đẳng thức là đúng.

## Kết luận
Tất cả các đẳng thức đều được chứng minh.