Để xác định các mệnh đề về đường tròn \(C\) đi qua điểm \(A(2, -1)\) và tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\), ta cần tìm ra vị trí và bán kính của đường tròn này.

**Bước 1: Xác định vị trí tâm và bán kính của đường tròn**

Với điều kiện tiếp xúc với hai trục tọa độ, tâm của đường tròn sẽ có tọa độ \((r, r)\), trong đó \(r\) là bán kính của đường tròn. Điều này có nghĩa là điểm tiếp xúc sẽ là điểm \( (r, 0) \) với trục \(Ox\) và \( (0, r) \) với trục \(Oy\).

**Bước 2: Điều kiện từ điểm A**

Điểm \(A(2, -1)\) nằm trên đường tròn. Do đó, ta có điều kiện:

\[
(2 - r)^2 + (-1 - r)^2 = r^2
\]

Giải phương trình trên:

\[
(2 - r)^2 + (-1 - r)^2 = r^2
\]
\[
(4 - 4r + r^2) + (1 + 2r + r^2) = r^2
\]
\[
5 - 2r + r^2 = r^2
\]
\[
5 - 2r = 0
\]
\[
2r = 5 \rightarrow r = \frac{5}{2}
\]

Vậy tâm của đường tròn là \(\left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right)\) và bán kính là \(r = \frac{5}{2}\).

**Bước 3: Kiểm tra các mệnh đề**

a. **Đường tròn \(C\) đi qua điểm \(N(1, 0)\)**:

Khoảng cách từ điểm \(N(1, 0)\) đến tâm đường tròn là:

\[
\sqrt{\left(1 - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \frac{\sqrt{34}}{2}
\]

So sánh với bán kính:

\[
\frac{5}{2}
\]

Do đó, \(N(1, 0)\) không nằm trên đường tròn. **Mệnh đề a: Sai**.

b. **Đường tròn \(C\) đi qua điểm \(M(1, 1)\)**:

Khoảng cách từ điểm \(M(1, 1)\) đến tâm đường tròn là:

\[
\sqrt{\left(1 - \frac{5}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{9}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]

So sánh với bán kính:

\[
\frac{3\sqrt{2}}{2} \neq \frac{5}{2}
\]

Do đó, \(M(1, 1)\) cũng không nằm trên đường tròn. **Mệnh đề b: Sai**.

c. **Có 2 đường tròn thỏa mãn**:

Chỉ có một đường tròn duy nhất thỏa mãn các điều kiện đã nêu. **Mệnh đề c: Sai**.

d. **Tổng bán kính các đường tròn thỏa mãn bằng 5**:

Vì chỉ có một đường tròn duy nhất với bán kính bằng \( \frac{5}{2} \), tổng bán kính là \( \frac{5}{2} \), không bằng 5. **Mệnh đề d: Sai**.

**Kết luận**: Tất cả các mệnh đề a, b, c, d đều sai.