Để phân tích từng mệnh đề, đầu tiên ta cần tìm tâm và bán kính của đường tròn \( C \).

Phương trình đường tròn đã cho là:

\[
x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0
\]

Ta sẽ chuyển nó về dạng chuẩn bằng cách hoàn thành bình phương:

\[
(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 6 = 0
\]

Hoàn thành bình phương cho \( x \) và \( y \):

\[
(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 6 = 0
\]

\[
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0
\]

Vậy phương trình đường tròn trở thành:

\[
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4
\]

Từ đó, ta xác định rằng:

- Tâm của đường tròn \( C \) là \( (3, -1) \)
- Bán kính của đường tròn là \( r = 2 \)

**Xét từng mệnh đề:**

a. **Điểm A(1, -1) thuộc đường tròn**

Ta tính khoảng cách từ điểm A đến tâm của đường tròn:

\[
d(A, C) = \sqrt{(1 - 3)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{4 + 0} = 2
\]

Khoảng cách d(A, C) bằng bán kính của đường tròn. Do đó, điểm A thuộc đường tròn.

**Mệnh đề a: Đúng**

b. **Điểm B(1, 3) nằm trong đường tròn**

Tương tự, ta tính khoảng cách từ điểm B đến tâm của đường tròn:

\[
d(B, C) = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.47
\]

Khoảng cách d(B, C) lớn hơn bán kính của đường tròn (là 2). Do đó, điểm B nằm ngoài đường tròn.

**Mệnh đề b: Sai**

c. **\( x = 1 \) là phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A**

Để kiểm tra điều này, ta tính đạo hàm tại điểm A.

Từ phương trình đường tròn ta có:

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{(x - 3)}{(y + 1)}
\]

Tại điểm A(1, -1):

\[
\frac{dy}{dx}\bigg|_{(1,-1)} = -\frac{(1 - 3)}{(-1 + 1)}
\]

Trong trường hợp này, \(\frac{dy}{dx}\) không được xác định vì mẫu số bằng 0. Điều này chứng tỏ tiếp tuyến tại điểm A phải là phương trình của đường thẳng đứng tại \( x = 1 \).

**Mệnh đề c: Đúng**

d. **Qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là \( x = 1 \), \( 3x + 4y - 12 = 0 \)**

Ta kiểm tra xem hai phương trình \( x = 1 \) và \( 3x + 4y - 12 = 0 \) có phải là tiếp tuyến từ điểm B đến đường tròn hay không.

Điểm B(1, 3) đã được chỉ ra là ngoài đường tròn, do đó không thể kéo tiếp tuyến từ B đụng đến đường tròn (mỗi tiếp tuyến đều cho một tiếp điểm duy nhất trên đường tròn).

Hơn nữa, phương trình \( 3x + 4y - 12 = 0 \) cũng cần được kiểm tra.

Thay \( x = 1 \) vào:

\[
3(1) + 4y - 12 = 0 \Rightarrow 4y - 9 = 0 \Rightarrow y = \frac{9}{4}
\]

Điểm \( (1, \frac{9}{4}) \) có khoảng cách từ B(1, 3) bằng:

\[
d = \sqrt{(1 - 1)^2 + \left(3 - \frac{9}{4}\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{3}{4}
\]

Giống như đã nói trước, hãy tính khoảng cách giữa điểm B và tâm của đường tròn:

\[
d(B, C) = \sqrt{(1 - 3)^2 + (3 + 1)^2} = \sqrt{20} \text{ (đã tính ở b)}
\]

Thực tế, phương trình \( 3x + 4y - 12 = 0 \) có thể là một trong các tiếp tuyến từ điểm B, nhưng \( x = 1 \) không đúng vì nó là vị trí nằm trên trục tung chứ không phải tiếp xúc.

**Mệnh đề d: Sai**

Tóm lại:

- a: Đúng
- b: Sai
- c: Đúng
- d: Sai