Để giải bài toán, chúng ta cần tìm các đặc điểm của đường tròn (C) có tâm \(O(h, k)\) đi qua hai điểm \(A(1, 2)\) và \(B(3, 4)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: 3x + y - 3 = 0\).

1. **Điều kiện đường tròn đi qua A và B:**
- Đường tròn đi qua điểm A:
\[
\sqrt{(h - 1)^2 + (k - 2)^2} = r
\]
- Đường tròn đi qua điểm B:
\[
\sqrt{(h - 3)^2 + (k - 4)^2} = r
\]

2. **Điều kiện đường tròn tiếp xúc với đường thẳng:**
- Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng \(\Delta\) phải bằng bán kính \(r\):
\[
\frac{|3h + k - 3|}{\sqrt{3^2 + 1^2}} = r
\]
- Tính khoảng cách:
\[
\frac{|3h + k - 3|}{\sqrt{10}} = r
\]

3. **Giải hệ phương trình:**
Ta có 3 điều kiện cho đường tròn:

- Từ 2 điều kiện đi qua A và B, ta có thể thiết lập một phương trình:
\[
(h - 1)^2 + (k - 2)^2 = (h - 3)^2 + (k - 4)^2
\]
Việc giải phương trình này sẽ đưa đến tọa độ của tâm \(O(h, k)\).

4. **Tính tổng đường kính:**
- Tổng đường kính của đường tròn được tính bằng \(2r\). Ta sẽ tính được bán kính \(r\) từ các điều kiện trên.

5. **Xét vị trí các điểm M(3, 2) và N(1, 0):**
- Để xác định xem các điểm này nằm bên trong, bên ngoài hay trên đường tròn, ta sẽ tính khoảng cách từ các điểm đến tâm \(O\) và so sánh với bán kính \(r\).

6. **Kết luận các mệnh đề:**
a. Có thể có 2 đường tròn thỏa mãn các điều kiện, vì có thể có 2 vị trí cho tâm \(O\) tương ứng với 2 bán kính khác nhau, nên **đúng**.

b. Tổng đường kính bằng \(2\sqrt{10}\) cần được xác minh từ các tính toán cụ thể của bán kính \(r\); điều này có thể **đúng** hoặc **sai** tùy vào giá trị \(r\) tính được.

c. Để đánh giá điểm \(M(3, 2)\), ta sẽ xem khoảng cách từ \(M\) đến tâm \(O\) và so sánh với \(r\); điều này cần tính cụ thể để quyết định **đúng hoặc sai**.

d. Điểm \(N(1,0)\) có thể nằm trên ít nhất một đường tròn, nhưng cần kiểm tra khoảng cách từ \(N\) đến tâm \(O\) với \(r\); điều này cũng cần tính cụ thể. Kết quả có thể **đúng hoặc sai**.

Tóm lại, để có câu trả lời chính xác cho từng mệnh đề, bắt buộc phải thực hiện các phép tính cụ thể để xác định tọa độ của \(O\) và bán kính \(r\).