Bước 1: Đơn giản biểu thức trong căn

Ta có: √(2-2x+x²+1) = √((x-1)²+1) ≥ 1 với mọi x.

Bước 2: Xét bất phương trình:

m (√(2-2x+x²+1) + x(2-x) ≤ 0

⇔ m (√((x-1)²+1) + x(2-x)) ≤ 0

Nhận xét:

• √((x-1)²+1) + x(2-x) ≥ 1 - x² (do √((x-1)²+1) ≥ 1 và x(2-x) ≥ -x²)
• x(2-x) ≤ 1 với mọi x ∈ [0;2]

Từ đó, ta có:

• Nếu m > 0 thì bất phương trình vô nghiệm trên [0;2] vì vế trái luôn dương.
• Nếu m = 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [0;2].
• Nếu m < 0 thì bất phương trình tương đương với: √((x-1)²+1) + x(2-x) ≥ -1/m

Kết luận:

Để bất phương trình có nghiệm đúng trên [0;2] thì m ≤ 0.

• a) Nếu m ∈ {-3;2} thì có 3 giá trị nguyên của m: Sai, vì chỉ có m = -3 thỏa mãn.
• b) Nếu m ∈ {-9;-5} thì có 5 giá trị nguyên của m: Sai, vì chỉ có các giá trị âm mới thỏa mãn.
• c) Nếu m ∈ {0;4} thì có 5 giá trị nguyên của m: Sai, vì chỉ có m = 0 thỏa mãn.
• d) Nếu m ∈ {-1;-2} thì có 0 giá trị nguyên của m: Sai, cả hai giá trị đều thỏa mãn.