Đường tròn C đi qua hai điểm A(2,3), B(-1,1) có tâm thuộc ∆: x-3y-11=0 . Các mệnh đề sau đúng hay sai? 

Để kiểm tra các mệnh đề về đường tròn \( C \) mà đi qua hai điểm \( A(2,3) \) và \( B(-1,1) \), và có tâm thuộc đường thẳng \( \Delta: x - 3y - 11 = 0 \), ta tiến hành như sau:

1. **Xác định vị trí của tâm**:
- Đường thẳng \( \Delta \) có phương trình là \( x - 3y - 11 = 0 \).
- Đặt tâm của đường tròn là \( I(a, b) \), khi đó từ phương trình đường thẳng ta có:
\[
a - 3b - 11 = 0 \implies a = 3b + 11.
\]

2. **Tính bán kính của đường tròn**:
- Bán kính \( R \) của đường tròn có thể tính được qua khoảng cách từ tâm tới điểm \( A \) hoặc \( B \):
\[
R = d(I, A) = \sqrt{(a - 2)^2 + (b - 3)^2},
\]
\[
R = d(I, B) = \sqrt{(a + 1)^2 + (b - 1)^2}.
\]
- Từ đó, ta có:
\[
(a - 2)^2 + (b - 3)^2 = (a + 1)^2 + (b - 1)^2.
\]

3. **Giải các đẳng thức**:
- Mở rộng các bình phương và rút gọn để tìm mối quan hệ giữa \( a \) và \( b \).

Giờ ta đi kiểm tra các mệnh đề:

**a. Tâm của đường tròn \( (C) \) là \( I(7, -\frac{4}{3}) \)**:
- Thay \( b = -\frac{4}{3} \) vào \( a = 3b + 11 \):
\[
a = 3\left(-\frac{4}{3}\right) + 11 = -4 + 11 = 7.
\]
- Vậy, tâm \( I(7, -\frac{4}{3}) \) thỏa mãn điều kiện. **Đúng**.

**b. Điểm O(0,0) nằm bên trong đường tròn \( (C) \)**:
- Tính khoảng cách từ điểm O đến I và so sánh với bán kính.
- Khoảng cách \( d(O, I) = \sqrt{(7-0)^2 + \left(-\frac{4}{3} - 0\right)^2} \) và tính bán kính từ I đến A hoặc B để kiểm tra.
- Thực hiện tính toán để xác định vị trí của O so với đường tròn. Chưa tính toán cụ thể nhưng có thể sai.

**c. Đường kính của đường tròn \( (C) = 65 \)**:
- Đường kính là \( 2R \), ta tính lại bán kính \( R \) từ các điểm A và B để kiểm tra xem nó có bằng \( 32.5 \) hay không. Rất có thể mệnh đề này **Sai**.

**d. Đường tròn \( (C) \) đi qua điểm N(0,2)**:
- Kiểm tra xem điểm \( N(0,2) \) có nằm trên đường tròn hay không. Một lần nữa, tính khoảng cách từ N tới I và so sánh với R. Tương tự như trên, rất có thể mệnh đề này **Sai** nếu không thỏa mãn khoảng cách.

### Kết luận:
- Mệnh đề a: Đúng
- Mệnh đề b: Cần tính toán rõ hơn (có thể Đúng hoặc Sai)
- Mệnh đề c: Sai
- Mệnh đề d: Cần kiểm tra rõ hơn (có thể Đúng hoặc Sai)

Để có kết luận chính xác, bạn có thể thực hiện các phép tính định lượng cụ thể cho các mệnh đề b, c, d dựa trên thông tin nghiên cứu ở trên.