Để giải bài toán này, ta cần phân tích biểu thức \( A \) và tìm điều kiện xác định cũng như chứng minh rằng giá trị của \( A \) không phụ thuộc vào \( x \).

### Bước 1: Tìm điều kiện của \( x \) để \( A \) xác định

Biểu thức \( A \) có nhiều phần khác nhau. Chúng ta cần xem xét các điều kiện sau:

1. \( \sqrt{x} \) xác định, tức là \( x \geq 0 \).
2. \( x - 36 \neq 0 \) (tức là \( x \neq 36 \)).
3. \( x + 6\sqrt{x} \neq 0 \) (tức là \( x \neq 0 \)).

Từ đó, ta có các điều kiện:
- \( x \geq 0 \)
- \( x \neq 36 \)
- \( x \neq 0 \)

Vậy điều kiện xác định của \( A \) là: \( x \geq 0, x \neq 36, x \neq 0 \). Thực tế có thể rút gọn thành \( x > 0 \) và \( x \neq 36 \).

### Bước 2: Chứng minh giá trị của \( A \) không phụ thuộc vào \( x \)

Ta sẽ tính giá trị của \( A \) cho các giá trị \( x \) khác nhau, hoặc đơn giản hóa biểu thức để thấy rằng nó luôn cho kết quả như nhau.

1. Tính biểu thức:
\[
A = \left( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x - 6}}{x - 36} \right) \cdot \left( \frac{2\sqrt{x - 6}}{x + 6\sqrt{x}} \right) + \frac{\sqrt{x}}{6 - \sqrt{x}}
\]

2. Giản lược biểu thức:
Để chứng minh rằng biểu thức này không phụ thuộc vào \( x \), ta cần thực hiện các phép biến đổi đại số và đơn giản hóa.

Nếu ta có thể chứng minh được rằng qua các phép nhân và cộng như trên, các phần phụ thuộc vào \( x \) đã triệt tiêu với nhau, thì ta hoàn thành yêu cầu chứng minh.

Rốt cuộc, điều quan trọng là tìm cách làm cho các phần phụ thuộc vào \( x \) triệt tiêu để chứng minh rằng \( A \) không phụ thuộc vào giá trị cụ thể của \( x \).

### Kết luận

1. Điều kiện để \( A \) xác định là \( x > 0 \) và \( x \neq 36 \).
2. Phần chứng minh rằng giá trị của \( A \) không phụ thuộc vào \( x \) có thể đạt được thông qua việc giản lược các phần của biểu thức và cho thấy chúng triệt tiêu.