Để rút gọn biểu thức

\[
\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}},
\]

ta sẽ xử lý từng phần.

**Bước 1: Rút gọn \(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}\)**

Giả sử \(\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\). Khi bình phương cả hai vế, ta có:

\[
17 - 12\sqrt{2} = a + b - 2\sqrt{ab}.
\]

So sánh hệ số, ta được:

\[
a + b = 17 \quad \text{và} \quad -2\sqrt{ab} = -12\sqrt{2}.
\]

Từ phương trình thứ hai, ta rút ra:

\[
2\sqrt{ab} = 12\sqrt{2} \implies \sqrt{ab} = 6\sqrt{2} \implies ab = 72.
\]

Giải hệ phương trình:

1. \(a + b = 17\)
2. \(ab = 72\)

Giả sử \(a\) và \(b\) là nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x^2 - (a+b)x + ab = 0 \implies x^2 - 17x + 72 = 0.
\]

Tính định thức \(\Delta\):

\[
\Delta = 17^2 - 4 \cdot 72 = 289 - 288 = 1.
\]

Nghiệm là:

\[
x = \frac{17 \pm 1}{2} = 9 \quad \text{hoặc} \quad 8.
\]

Vậy \(a = 9\), \(b = 8\) (hoặc ngược lại). Do đó:

\[
\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{8} = 3 - 2\sqrt{2}.
\]

**Bước 2: Rút gọn \(\sqrt{9 + 4\sqrt{2}}\)**

Giả sử \(\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{c} + \sqrt{d}\). Khi bình phương, ta có:

\[
9 + 4\sqrt{2} = c + d + 2\sqrt{cd}.
\]

So sánh hệ số, ta có:

\[
c + d = 9 \quad \text{và} \quad 2\sqrt{cd} = 4\sqrt{2}.
\]

Từ phương trình thứ hai, ta rút ra:

\[
\sqrt{cd} = 2\sqrt{2} \implies cd = 8.
\]

Giải hệ phương trình:

1. \(c + d = 9\)
2. \(cd = 8\)

Giả sử \(c\) và \(d\) là nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x^2 - 9x + 8 = 0.
\]

Tính định thức \(\Delta\):

\[
\Delta = 9^2 - 4 \cdot 8 = 81 - 32 = 49.
\]

Nghiệm là:

\[
x = \frac{9 \pm 7}{2} = 8 \quad \text{hoặc} \quad 1.
\]

Vậy \(c = 8\), \(d = 1\) (hoặc ngược lại). Do đó:

\[
\sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{8} + \sqrt{1} = 2\sqrt{2} + 1.
\]

**Bước 3: Cộng các biểu thức lại**

Cuối cùng, ta có:

\[
\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{9 + 4\sqrt{2}} = (3 - 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} + 1) = 3 + 1 = 4.
\]

Vậy biểu thức rút gọn là:

\[
\boxed{4}.
\]