Để rút gọn biểu thức \((5 + 2\sqrt{3})\sqrt{37 - 20\sqrt{3}}\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính \(\sqrt{37 - 20\sqrt{3}}\)**:
Ta dự đoán \(\sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}\) cho một số \(a\) và \(b\).
Bình phương cả hai vế:
\[
37 - 20\sqrt{3} = a + b - 2\sqrt{ab}
\]
Từ đó, ta có:
\[
a + b = 37 \quad \text{và} \quad 2\sqrt{ab} = 20\sqrt{3} \implies \sqrt{ab} = 10\sqrt{3} \implies ab = 300
\]

Giải hệ phương trình:
\[
x^2 - 37x + 300 = 0
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4 \cdot 300}}{2}
\]
\[
= \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 1200}}{2} = \frac{37 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{37 \pm 13}{2}
\]
Từ đó:
\[
x_1 = 25, \quad x_2 = 12
\]
Vậy:
\[
\sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = \sqrt{25} - \sqrt{12} = 5 - 2\sqrt{3}
\]

2. **Thay vào biểu thức**:
\[
(5 + 2\sqrt{3})(5 - 2\sqrt{3})
\]
Sử dụng công thức dạng \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\):
\[
= 5^2 - (2\sqrt{3})^2 = 25 - 12 = 13
\]

Vậy biểu thức rút gọn là \(13\).