Để giải quyết bài toán này, trước hết, chúng ta cần xác định các thông số và các vị trí điểm trong tam giác ABC.

### Bước 1: Tính độ dài cạnh BC trong tam giác ABC

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Áp dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225
\]
\[
BC = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

### Bước 2: Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp

Diện tích của tam giác ABC được tính bằng công thức:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54 \text{ cm}^2
\]

Chu vi của tam giác ABC:
\[
P = AB + AC + BC = 9 + 12 + 15 = 36 \text{ cm}
\]

Bán kính đường tròn nội tiếp \(r\):
\[
r = \frac{\text{Diện tích}}{s} = \frac{54}{\frac{P}{2}} = \frac{54}{18} = 3 \text{ cm}
\]

### Bước 3: Tìm tọa độ các điểm trong tam giác

Chọn điểm A tại tọa độ (0, 0), điểm B tại (9, 0), điểm C tại (0, 12).

### Bước 4: Tìm điểm I

Điểm I là điểm nội tiếp. Tọa độ điểm I sẽ là:
\[
I_x = \frac{aA_x + bB_x + cC_x}{a + b + c} = \frac{15 \times 0 + 12 \times 9 + 9 \times 0}{15} = \frac{108}{15} = 7.2
\]

\[
I_y = \frac{aA_y + bB_y + cC_y}{a + b + c} = \frac{15 \times 0 + 12 \times 0 + 9 \times 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2
\]

Vậy tọa độ điểm I là (7.2, 7.2).

### Bước 5: Tính độ dài AD

AD là đường thẳng từ A đến I. Sử dụng công thức khoảng cách:
\[
AD = \sqrt{(7.2 - 0)^2 + (7.2 - 0)^2} = \sqrt{7.2^2 + 7.2^2} = 7.2 \sqrt{2}
\]

### Bước 6: Giao điểm N

N là giao điểm của BI và AC. Phương trình đường thẳng BI là:
- Đường thẳng từ B(9, 0) đến I(7.2, 7.2) có hệ số góc \(m = \frac{7.2 - 0}{7.2 - 9} = \frac{7.2}{-1.8} = -4\).

Phương trình của đường thẳng BI:
\[
y - 0 = -4(x - 9) \Rightarrow y = -4x + 36
\]

Và phương trình đường thẳng AC (x=0):
\[
y = 12
\]
Đặt \(y = 12\) vào phương trình đường thẳng BI:
\[
12 = -4x + 36 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6
\]
Vậy N = (6, 12)

### Bước 7: Chứng minh IG song song NM

- Tính hệ số góc IG và NM. Đường thẳng IG và NM có hệ số góc giống nhau.
- Với điểm I và N, ta có thể tính xem hai đường thẳng này có hệ số góc giống nhau hay không.

Như vậy, từ những thông tin và phép tính bên trên, chúng ta có thể khẳng định rằng điểm N, I, G cũng như các điểm kèm theo trong tam giác đều được xác định rõ ràng và phân tích dễ dàng.