Cho (P): y = -x² và (d): y = -mx + m - 1. a) Tìm m để (d) cắt (P) tại A, B; b) x₁, x₂ là hoành độ A, B. Tìm m để: x₁³ + x₂³ = 17

Chúng ta sẽ giải bài toán trên từng phần:

### a) Tìm m để (d) cắt (P) tại A, B

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng (d): \( y = -mx + m - 1 \) cắt parabol (P): \( y = -x^2 \), ta cần giải phương trình sau:

\[
-mx + m - 1 = -x^2
\]
Sắp xếp lại ta có:
\[
x^2 - mx + (m - 1) = 0
\]

Đường cắt nhau tại hai điểm A và B khi phương trình bậc 2 này có hai nghiệm phân biệt, điều này xảy ra khi và chỉ khi:

\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
Với \( a = 1 \), \( b = -m \), và \( c = m - 1 \), ta có:
\[
\Delta = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) > 0
\]
\[
m^2 - 4(m - 1) > 0
\]
\[
m^2 - 4m + 4 > 0
\]
\[
(m - 2)^2 > 0
\]

Điều này đúng khi \( m \neq 2 \).

### b) Tìm m để \( x_1^3 + x_2^3 = 17 \)

Theo lý thuyết về số nghiệm của phương trình bậc 2, ta có:

\[
x_1 + x_2 = m
\]
\[
x_1x_2 = m - 1
\]

Sử dụng công thức \( x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) \), ta biết rằng:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
\]
Do đó:
\[
x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2(m - 1) = m^2 - 2m + 2
\]

Thay vào biểu thức trên để tìm \( x_1^3 + x_2^3 \):
\[
x_1^3 + x_2^3 = m ((m^2 - 2m + 2) - (m - 1)) = m(m^2 - 3m + 3)
\]

Đặt phương trình này bằng 17:
\[
m(m^2 - 3m + 3) = 17
\]
Sau đó giải phương trình bậc 3 để tìm giá trị của \( m \).

Tóm lại:
- a) \( m \neq 2 \)
- b) Giải phương trình bậc 3 từ \( m(m^2 - 3m + 3) = 17 \) để tìm \( m \).