Để giải phương trình \( 256 \div 4^x = 42 \), trước tiên chúng ta có thể biến đổi phương trình này.

Ta đã có thể viết \( 256 \) dưới dạng lũy thừa của \( 4 \):

\[
256 = 4^4
\]

Vì vậy, ta có thể thay \( 256 \) vào phương trình:

\[
\frac{4^4}{4^x} = 42
\]

Áp dụng quy tắc chia lũy thừa, ta có:

\[
4^{4-x} = 42
\]

Tiếp theo, để giải phương trình này, ta sẽ lấy logarithm của cả hai vế. Ta có thể sử dụng logarithm cơ số 4 cho dễ tính:

\[
4 - x = \log_4(42)
\]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[
x = 4 - \log_4(42)
\]

Để tính giá trị cụ thể của \( x \), chúng ta cần xác định giá trị của \( \log_4(42) \):

\[
\log_4(42) = \frac{\log_{10}(42)}{\log_{10}(4)}
\]

Giá trị ước lượng:

\(\log_{10}(42) \approx 1.623\) và \(\log_{10}(4) \approx 0.602\)

Vậy:

\[
\log_4(42) \approx \frac{1.623}{0.602} \approx 2.696
\]

Thay vào phương trình tính \( x \):

\[
x \approx 4 - 2.696 \approx 1.304
\]

Vì \( x \) phải là một số tự nhiên, giá trị gần nhất là \( x = 1 \).

Kiểm tra lại:

Nếu \( x = 1 \):

\[
256 \div 4^1 = 256 \div 4 = 64 \quad (không đúng)
\]

Nếu \( x = 2 \):

\[
256 \div 4^2 = 256 \div 16 = 16 \quad (không đúng)
\]

Nếu \( x = 3 \):

\[
256 \div 4^3 = 256 \div 64 = 4 \quad (không đúng)
\]

Nếu \( x = 4 \):

\[
256 \div 4^4 = 256 \div 256 = 1 \quad (không đúng)
\]

Do đó, cần phải xem xét lại, giá trị thực tế không cho ra số tự nhiên. Vì vậy không có giá trị \( x \) nào giữa \( 0 \) và \( 4 \) cho ra 42.

Giá trị \( x \) không tồn tại trong tập hợp số tự nhiên, và \( x \) không phải là số tự nhiên.