Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( E = 2x^2 + 8x + y^2 - 10y + 43 \), ta sẽ lần lượt tối ưu hóa theo từng biến \( x \) và \( y \).

1. **Tối ưu hóa theo \( x \)**:

Hàm theo \( x \) là:
\[
E_x = 2x^2 + 8x
\]

Để tìm giá trị cực tiểu, ta tính đạo hàm và giải phương trình:
\[
\frac{dE_x}{dx} = 4x + 8 = 0 \implies x = -2
\]

Tính giá trị của \( E \) tại \( x = -2 \):
\[
E(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + y^2 - 10y + 43
\]
\[
= 2(4) - 16 + y^2 - 10y + 43 = 8 - 16 + y^2 - 10y + 43 = y^2 - 10y + 35
\]

2. **Tối ưu hóa theo \( y \)**:

Hàm theo \( y \) là:
\[
E_y = y^2 - 10y + 35
\]

Tương tự, ta cũng tính đạo hàm:
\[
\frac{dE_y}{dy} = 2y - 10 = 0 \implies y = 5
\]

Tính giá trị của \( E \) tại \( y = 5 \):
\[
E(5) = (5)^2 - 10(5) + 35 = 25 - 50 + 35 = 10
\]

3. **Kết luận**:

Giá trị lớn nhất của hàm số \( E \) là:
\[
E = 10
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là **10**.